Электрический потенциал внутри заряженной сферы. Поле точечного заряда и заряженного шара. Принцип суперпозиции полей

Лекция 5. Напряжённость электрического поля

Понятие электрического поля оказалось плодотворным потому, что удалось ввести количественные характеристики, которые позволяют решать конкретные физические задачи. К ним в первую очередь относятся напряжённость и потенциал электрического поля.

Экспериментальные исследования учащихся должны показать, что напряжённость реально может быть измерена и что эта величина действительно характеризует электрическое поле. Относительно новое для школьников – один и тот же прибор, электростатический динамометр, при соответствующей градуировке может быть использован в качестве измерителя и силы, и напряжённости. Однако это вовсе не значит, что этим прибором можно измерить любую электростатическую величину: ни при какой градуировке электростатического динамометра не удастся получить прибор, измеряющий, скажем, потенциал электрического поля.

Принципиально важно экспериментальное обоснование принципа суперпозиции электрических полей. Такое обоснование можно было бы осуществить уже при введении понятия электрического поля, но предпочтительнее сделать это, когда учащиеся будут ознакомлены с понятием напряжённости.

5.1. Напряжённость электрического поля. Силовой характеристикой электрического поля является вектор напряжённости электрического поля E , равный отношению вектора силы, действующей в данной точке поля на пробный положительный заряд, к величине этого заряда:

Напряжённость в системе единиц СИ выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).

5.2. Напряжённость электрического поля точечного заряда. Во многих задачах электростатики размерами заряженных тел по сравнению с расстояниями до точек наблюдения можно пренебречь. В таких случаях говорят о точечных зарядах. Понятно, что на самом деле никаких точечных зарядов или заряженных точек в природе не существует, - это просто удобная абстракция.

Закон Кулона, как вы знаете, справедлив именно для точечных зарядов. Непосредственно из закона Кулона следует, что модуль вектора напряжённости электрического поля точечного заряда Q :

(5.2)

где R – расстояние до точки наблюдения, q – пробный положительный заряд.

5.3. Силовые линии электростатического поля. Фарадей, который ввёл понятие электрического поля, внутренним взором видел заряды, окружённые полями. Изображать их он стал линиями, вдоль которых на пробный заряд со стороны поля действуют силы. Силовые линии электростатического поля часто называют линиями напряжённости , т.к. вектор напряжённости электрического поля в любой точке такой линии касателен к ней. Вместо пробного заряда для построения силовых линий удобнее использовать электрический диполь.

Введя в электрическое поле положительный пробный заряд на нити, по его отклонению от положения равновесия определим направление напряжённости поля. Уберём заряд и вместо него в ту же точку внесём диполь. При этом обнаружим, что он повернулся своим положительным полюсом в направлении вектора напряжённости электрического поля. Используя диполь, нетрудно экспериментально доказать, что электрическое поле можно характеризовать силовыми линиями, т.е. такими линиями, в каждой точке которых напряжённость поля является касательной к ним.

Для этого создадим произвольное электрическое поле, введём в него диполь и отметим положение его положительного и отрицательного полюсов. Переместим диполь так, чтобы его, например, отрицательный полюс совпал с точкой, в которой находился положительный. Многократно повторяя эту операцию, получим совокупность точек. Соединив эти точки плавной линией, получим силовую линию исследуемого электростатического поля.

Опыт показывает, что через каждую точку поля проходит только одна силовая линия. Если бы было не так, то в точке пересечения двух силовых линий одного поля на заряд действовали бы разные силы.

Повторяя описанные выше действия, построим семейство силовых линий так, чтобы их начальные точки находились на поверхности заряженного тела на равных расстояниях друг от друга. Обнаружим, что силовые линии располагаются с различной густотой. Внесём в поле пробный заряд на нити в области с максимальной и минимальной густотой силовых линий и обнаружим, что в этих областях напряжённость электрического поля соответственно максимальна и минимальна.

Силовые линии сгущаются возле зарядов, т.е. там, где модуль вектора напряжённости электрического поля больше. Значит, густота силовых линий определяется напряжённостью поля. Семейство силовых линий в принципе может полностью охарактеризовать электрическое поле.

Проделанные опыты показывают, что силовые линии начинаются или заканчиваются на зарядах, идут в бесконечность или выходят из неё. В электростатическом поле замкнутых силовых линий нет.

5.4. Принцип суперпозиции напряжённостей электростатических полей. Из принципа суперпозиции полей следует, что сила, действующая на пробный заряд со стороны других зарядов, равна геометрической сумме всех действующих на заряд сил по отдельности. Но если это так, то напряжённости электрических полей, равные отношениям сил к величине пробного заряда, складываются подобно силам.

Таким образом, для электрических полей справедлив принцип суперпозиции в следующей формулировке: напряжённость результирующего электрического поля есть геометрическая (векторная) сумма напряжённостей полей, создаваемых отдельными зарядами:

E = E 1 + E 2 + E 3 + … (5.3)

Применение принципа суперпозиции для напряжённостей позволяет существенно облегчить решение многих задач электростатики.

5.5. Поток вектора напряжённости электрического поля. Представим себе точечный положительный заряд Q , находящийся в центре сферической поверхности 1 радиусом r . В точках этой поверхности напряжённость электрического поля Так как площадь

поверхности сферы S = 4r 2 , то её произведение на напряжённость электрического поля не зависит ни от чего, кроме заряда:

(5.4)

поэтому характеризует электрическое поле в целом. Эта величина получила название потока вектора напряжённости электрического поля.

Поток напряжённости через концентрические сферические поверхности 1 и 2 одинаков. Так как он характеризует поле заряда в целом, нужно, чтобы он оставался тем же и для произвольной замкнутой поверхности 3 . Но для неё вектор напряжённости уже не является нормалью к элементу поверхности. Поэтому для определения потока вектора E через элемент поверхности вместо площади этого элемента следует брать площадь его проекции на плоскость, перпендикулярную вектору E . Условимся поток считать положительным, если вектор напряжённости выходит из замкнутой поверхности, и отрицательным, если он входит в неё. Если заряд находится вне замкнутой поверхности 4 , то поток напряжённости через неё равен нулю. Дело в том, что входящий внутрь области поток по модулю равен выходящему.

5.6. Теорема Гаусса. Мысленно переместим заряд из центра сферической поверхности в любую точку внутри неё. Очевидно, поток вектора напряжённости электрического поля от этого не изменится, т.к., по самому определению, он один и тот же для любой замкнутой поверхности, окружающей заряд. Разместим внутри этой поверхности не один, а несколько в общем случае различных зарядов. По принципу суперпозиции электрические поля этих зарядов не влияют друг на друга, значит, потоки, созданные каждым зарядом по отдельности, остаются неизменными. Результирующий поток, очевидно, равен сумме потоков от всех зарядов.

Это и есть теорема Гаусса : поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную:

(5.5)

Если алгебраическая сумма зарядов внутри замкнутой поверхности равна нулю, то поток напряжённости электрического поля через эту поверхность также равен нулю. Это понятно, поскольку положительные заряды внутри поверхности создают положительный поток, а отрицательные – равный ему по модулю отрицательный.

5.7. Поверхностная плотность заряда. Если проводящему телу сообщить заряд, то он будет распределён по его поверхности. В общем случае на участках поверхности одинаковой площади окажутся разные заряды. Отношение заряда Q к площади поверхности S , на которой он распределён, называется поверхностной плотностью заряда

Поверхностная плотность заряда выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м 2).

5.8. Напряжённость электрического поля заряженного шара. Используя теорему Гаусса, нетрудно определить напряжённость электрического поля, созданного заряженным проводящим шаром. Действительно, если на поверхности сферы радиусом r > R , центр которой совпадает с центром шара, равномерно распределён заряд Q , то поток вектора E через сферическую поверхность радиусом r , согласно теореме Гаусса, равен:

Отсюда напряжённость электрического поля на расстоянии r от центра заряженной сферы равна

(5.7)

Сравнивая (5.7) с (5.2), приходим к выводу, что напряжённость электрического поля заряженного шара равна напряжённости такого же точечного заряда, расположенного в центре шара.

5.9. Напряжённость электрического поля заряженной плоскости. Рассмотрим бесконечную плоскость, заряженную равномерно с поверхностной плотностью заряда . Электрическое поле такой поверхности однородно, причём силовые линии перпендикулярны поверхности. Чтобы найти напряжённость поля, воспользуемся теоремой Гаусса. Для этого построим замкнутую цилиндрическую поверхность, ось которой параллельна силовым линиям поля, а основания площадью S находятся по разные стороны от поверхности. Поток напряжённости через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. силовые линии её не пересекают. Поэтому полный поток напряжённости через выбранную поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра: N = 2 ЕS . Полный заряд внутри цилиндра равен Q = S . Согласно теореме Гаусса, Отсюда напряжённость электрического поля

Итак, напряжённость электрического поля заряженной плоскости равна поверхностной плотности заряда, делённой на удвоенное значение электрической постоянной.

5.10. Напряжённость электрического поля разноимённо заряженных параллельных плоскостей. Пусть некоторая плоскость заряжена равномерно с плотностью заряда . Параллельно этой плоскости расположим вторую, с такой же плотностью заряда противоположного знака. Найдём напряжённость электрического поля в этом случае.

Каждая плоскость создаёт поле напряжённостью E" = /(2 0). Согласно принципу суперпозиции, напряжённость результирующего электрического поля равна сумме напряжённостей этих полей. Так как между плоскостями напряжённости полей имеют одинаковое направление, то результирующая напряжённость Е = 2E" :

Следовательно, напряжённость электрического поля между параллельными плоскостями, несущими равные по модулю разноимённые заряды, равна поверхностной плотности заряда одной из плоскостей, делённой на электрическую постоянную. Вне плоскостей векторы напряжённостей направлены противоположно и, поскольку их модули равны, поле вообще отсутствует. Обратите внимание, что не важно, проводят плоскости электричество или нет.

Проблема. Возможна ли в доступном учебном эксперименте количественная оценка напряжённости электрического поля, создаваемого зарядами на наэлектризованных телах?

Задание. Используя электростатический динамометр, разработайте методику введения понятия напряжённости электрического поля и предложите прибор для измерения напряжённостей.

Вариант выполнения. Проводящему шару сообщите заряд, для определённости положительный. На пробный шарик электростатического динамометра (см. исследование 3.4) также нанесите некоторый заряд. Введите динамометр в электрическое поле заряженного шара и разверните так, чтобы его показания стали максимальны. Это означает, что пробный шарик электростатического динамометра отклоняется в ту же сторону, куда направлена сила, действующая на него со стороны электрического поля.

Прикоснитесь к пробному шарику таким же незаряженным шариком и уберите его: пробный заряд уменьшится в два раза, показания динамометра для того же расстояния до точки наблюдения тоже уменьшаются в два раза.

Повторяя опыт с разными зарядами, убедитесь, что отношение силы f , действующей на пробный заряд q , к величине этого заряда в данной точке поля остаётся постоянным, а при переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняется. Значит, это отношение может характеризовать электрическое поле. Оно и получило название напряжённости электрического поля. Шкалу электростатического динамометра, которым вы пользовались для измерения силы электростатического взаимодействия, можно отградуировать в единицах напряжённости. Тогда допустимо считать этот прибор измерителем напряжённости электрического поля. Градуировку нетрудно осуществить в единицах Н/Кл, если предварительно измерить величину пробного заряда (см. исследование 3.6).

Учащиеся должны понять, каким образом один и тот же прибор превратился из измерителя силы в измеритель напряжённости.

Исследование 5.2. Зависимость напряжённости электрического поля от радиуса заряженного шара

Задание. Разработайте демонстрационный эксперимент, который может служить обоснованием справедливости теоремы Гаусса для электростатических полей.

Вариант выполнения.

Зарядите стоящий на диэлектрической подставке небольшой проводящий шар. К нему подведите измеритель напряжённости электрического поля, пробный шарик которого несёт такой же по знаку заряд, как заряд, создающий исследуемое поле. Запомните отклонение стрелки измерителя.

Первый шар с зарядом опустите в полость второго проводящего шара значительно большего диаметра, установленного на диэлектрической подставке. Приближайте этот второй шар к пробному шарику измерителя напряжённости. Оказывается, когда центр второго шара совпадает с точкой, в которой находился центр первого шара, стрелка измерителя отклоняется на первоначальное число делений.

Отсюда следует, что независимо от радиуса заряженного шара на одном и том же расстоянии от его центра напряжённость электрического поля одна и та же. Тем самым теорема Гаусса получила подтверждение в демонстрационном эксперименте.

Понятно, что теорема Гаусса носит общий характер и, строго говоря, не нуждается в обоснованиях, подобных здесь рассмотренному. Но в дидактических целях такое обоснование совершенно необходимо, поскольку оно способствует укреплению в сознании учащихся неразрывной связи физической теории с объективной реальностью.

Исследование 5.3. Суперпозиция электрических полей

Информация. Чтобы убедиться в справедливости принципа суперпозиции электрических полей, нужно уметь определять не только модули сил, действующих на заряды, но и их направления. Делать это с помощью электростатического динамометра неудобно. Кроме того, он не позволяет графически изображать векторы сил. Если на нити подвесить лёгкое заряженное тело, то силу, действующую на него в электрическом поле, можно оценить по отклонению тела из положения равновесия. Но для измерения этого отклонения воспользоваться линейкой не удастся: приближение её к заряженному телу вызывает изменение его положения. Чтобы устранить эту трудность, можно спроецировать заряженное тело на горизонтальную плоскость.

Задание. Разработайте и выполните эксперимент, доказывающий справедливость принципа суперпозиции электрических полей.

Вариант выполнения. К стеклянному баллону маленькой лампочки приклейте тонкую нить с лёгким проводящим шариком небольшого радиуса на конце. Нанесите на шарик пробный заряд. Лампочку закрепите над листом бумаги и включите её. На листе бумаги цифрой 0 отметьте положение тени от шарика, находящегося в положении равновесия. Приблизьте к пробному заряду заряд Q 1 и цифрой 1 отметьте на листе положение тени отклонившегося шарика. Уберите заряд Q 1 и вместо него вблизи пробного шарика расположите заряд Q 2 . При этом тень от шарика займёт новое положение 2 .

Верните заряд Q 1 в первоначальное положение. Теперь пробный шарик находится в поле сразу двух зарядов и отклоняется от положения равновесия так, что его тень занимает положение 3 . Проанализируйте результат эксперимента. Очевидно, при смещении шарика из положения равновесия его тень смещается на величину, пропорциональную силе, действующей на шарик в новом положении равновесия (см. исследование 3.5). При малых отклонениях пробного шарика эту силу приближённо можно считать равной силе, действующей на шарик в исходном положении. Длины отрезков, соединяющих точку 0 с точками 1 , 2 и 3 , пропорциональны модулям соответствующих сил. Соединив указанные точки векторами, вы обнаружите, что вектор результирующей силы, действующей на пробный заряд, примерно равен сумме векторов сил, действующих на него со стороны каждого заряда по отдельности. Понятно, что точные измерения, выполненные с более совершенными приборами, вместо приближённого дадут точное равенство.

Поразительно единство природы: силы, созданные электрическими полями, складываются так же, как механические! Но если это так, то напряжённости электрических полей, равные отношениям сил к величине пробного заряда, складываются подобно силам. Оставив шары неподвижными, изменяйте их заряды в одинаковое число раз (см. п. 2.6). При этом вы обнаружите, что направление напряжённости результирующего поля остаётся неизменным.

Таким образом, принцип суперпозиции электростатических полей экспериментально обоснован.

Исследование 5.4. Демонстрация принципа суперпозиции напряжённостей

Проблема. Индивидуальный опыт, выполненный в результате предыдущего исследования, не позволяет убедиться в справедливости принципа суперпозиции напряжённостей электростатических полей всему классу непосредственно на уроке. Как решить эту проблему?

Задание. Учитывая возможности кодоскопа, разработайте демонстрационный вариант эксперимента, обосновывающего справедливость принципа суперпозиции, и методику проведения его на уроке.

Вариант выполнения. Из толстой алюминиевой проволоки в изоляции выгните специальный штатив высотой примерно 30 см и поставьте его на конденсор кодоскопа. К верхнему концу штатива привяжите конец тонкой нейлоновой нити длиной примерно 20 см. На нижнем конце нити закрепите шарик диаметром около 3 мм из тонкой алюминиевой фольги. На конденсор кодоскопа на стойках высотой 10 см, изготовленных из полиэтиленовых трубок, поставьте пенопластовые шары диаметром 15–20 мм, обёрнутые тонкой фольгой. Основания стоек лучше сделать из прозрачного оргстекла.

Уберите с конденсора стойки с шарами, включите осветитель кодоскопа и на классной доске получите изображение висящего на нити пробного шарика. Одноимёнными зарядами зарядите пробный шарик и два шара на стойках. На доске мелом отметьте положение пробного шарика. Поставьте на конденсор один из заряженных шаров, отметьте его положение и положение пробного шарика. Уберите первый заряженный шар и в произвольное место поставьте второй, отметив на доске новое положение пробного шарика. Верните в первоначальное положение первый шар, обозначьте результирующее положение пробного шарика, мелом на доске нарисуйте соответствующие векторы сил и предложите учащимся сделать вывод из продемонстрированного опыта.

Исследование 5.5. Плотность заряда на поверхности проводника

Задание. Докажите, что плотность заряда на поверхности проводника, вообще говоря, различна.

Вариант выполнения. Зарядите расположенный на изолирующей подставке проводник цилиндрической формы с остриём и коническим углублением. Пробным шариком на изолирующей ручке, предварительно заземлённым, коснитесь цилиндрической поверхности проводника и поместите его внутрь полого шара, соединённого с электрометром. Если угол отклонения стрелки мал, повторите перенос заряда несколько раз. Запомните показания электрометра, разрядите его и пробный шарик. Попробуйте снять заряд из конического углубления в поверхности проводника, и вы убедитесь, что там он практически отсутствует. Повторите опыт, касаясь пробным шариком теперь уже точки поверхности, расположенной на острие проводника. В этом случае угол отклонения стрелки электрометра будет значительно больше, чем в первом опыте. Так как вблизи острия пробный шарик заряжается до большей величины, то в этой области плотность распределения заряда по поверхности проводника больше.

Зарядите металлический диск, закреплённый за изолирующую ручку в штативе. Проведя опыты, аналогичные описанным, покажите, что плотность заряда во всех точках плоской поверхности диска вдали от его края одинакова, а на краю возрастает.

Задание. Поставьте опыт, показывающий, что напряжённость электрического поля вблизи заряженного проводника определяется поверхностной плотностью заряда.

Вариант выполнения. Вблизи проводника сложной формы расположите электростатический динамометр и перемещайте его так, чтобы расстояние до поверхности проводника оставалось постоянным, а сила действовала на шарик динамометра по нормали к поверхности. Опыт должен показать, что там, где на поверхности проводника плотность заряда больше, вблизи этой поверхности больше и напряжённость электрического поля (см. исследование 5.5). Проанализируйте полученные результаты и сделайте соответствующие выводы.

Исследование 5.7. Электрическое поле вблизи заряженных плоскостей

Задание. Прямым экспериментом подтвердите, что равномерно заряженная плоскость даёт электрическое поле по обе стороны от неё, а две параллельно установленные плоскости, несущие равные заряды противоположных знаков, создают электрическое поле только в области между ними.

Вариант выполнения. На нитях подвесьте два одинаковых обёрнутых алюминиевой фольгой пенопластовых шарика так, чтобы они касались металлического диска с противоположных сторон. Зарядите диск от пьезоэлектрического или иного источника. При этом шарики отойдут от диска на равные расстояния, свидетельствуя о том, что электрическое поле существует по обе стороны от заряженного диска.

Точно такой же диск зарядите равным по модулю и противоположным по знаку зарядом. Постепенно приближайте второй диск к первому так, чтобы они оставались параллельными. Вы заметите, что отклонение шарика, находящегося вне дисков, уменьшается, а находящегося между дисками – увеличивается. Наконец, первый шарик касается диска, показывая, что поле вне дисков практически исчезло, а второй шарик отклоняется на угол, примерно в два раза превышающий первоначальный.

Исследование 5.8. Точное подтверждение закона Кулона

Информация.

На диэлектрической стойке закрепите металлический шар и заключите его между двумя проводящими полусферами, одна из которых имеет отверстие. Через отверстие проводником на изолированной нити соедините шар с полусферами. Зарядите полусферы. За нить удалите проводник. Разомкнув шар и полусферы, разведите полусферы в стороны, разрядите их, а к шару подсоедините чувствительный электрометр: никакого заряда на шаре вы не обнаружите. Значит, эксперимент ещё раз показывает, что на проводнике, находящемся внутри другого проводника, заряда нет.

Это справедливо потому, что справедлив закон Кулона. Действительно, внутри проводящей равномерно заряженной сферы выберем произвольную точку А и вертикальными конусами вырежем на сфере площадки S 1 и S 2 . Из геометрии известно, что Но эти площадки имеют заряды, пропорциональные их величинам: Небольшие площадки создают в точке А поля напряжённостями и отношение которых

Значит, поскольку напряжённости полей, созданных любыми подобными парами площадок на сфере, равны по модулю и противоположно направлены, результирующая напряжённость поля, созданного в точке А всей заряженной сферой, должна быть равна нулю.

Это и показывает эксперимент. Если бы на опыте был обнаружен хотя бы слабый заряд на внутреннем шаре, то оказалась бы неверной формула для напряжённости поля точечного заряда (5.2) и, следовательно, в законе Кулона (3.1) сила взаимодействия между зарядами не была бы обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Так как заряд можно измерить с гораздо более высокой точностью, чем силу взаимодействия между зарядами, а из закона Кулона следует, что поле внутри тела отсутствует независимо от его формы, то рассмотренный эксперимент корректнее доказывает справедливость закона Кулона, чем ранее описанные опыты.

Задание. Разработайте и поставьте доступный вариант рассмотренного эксперимента, с максимальной убедительностью показывающий, что внутри заряженного полого проводника электрическое поле отсутствует.

Вариант выполнения. Чтобы обнаружить электрическое поле, можно воспользоваться явлением электростатической индукции. Внесём в поле два соприкасающихся проводящих тела на изолированных ручках. В них произойдёт перераспределение зарядов. Не удаляя из поля, разъединим эти тела – на них останутся заряды противоположных знаков. Эти заряды можно измерить электрометром, находящимся вне исследуемого поля.

Эксперимент можно поставить так. На подставке из диэлектрика закрепите полый металлический шар. Проводником в хорошей изоляции соедините его с одним из кондукторов электрофорной машины. К шару приблизьте второй кондуктор и приведите машину в действие. При этом возникнут мощные искровые разряды длиной до 10 см. Аккуратно введите внутрь шара одинаковые металлические пластинки на ручках из оргстекла. Приведите пластинки в соприкосновение, затем разъедините, аккуратно достаньте из полости шара и по очереди введите в шар электрометра. Вы обнаружите, что никакого заряда на пластинках нет! Значит, внутри проводящего шара электрическое поле отсутствует, несмотря на то, что шар в целом несёт значительный заряд, сообщаемый ему работающей электрофорной машиной. Повторите опыт, прикоснувшись пробным шариком изнутри к металлу заряженного шара, – вы вновь не обнаружите никакого заряда. Таким образом, весь электрический заряд сосредоточен на поверхности проводящего тела. Объясняется этот результат тем, что справедлив закон Кулона. В свою очередь, этот экспериментальный факт с высокой точностью подтверждает справедливость закона Кулона.

Вопросы для самоконтроля

1. В чём суть методики введения и формирования понятия напряжённости электрического поля?

2. Сравните метод построения силовых линий посредством диполя с методом визуализации электростатического поля мелким порошком, взвешенным в жидком диэлектрике.

3. Изложите методику демонстрации на уроке принципа суперпозиции электростатических полей.

4. Каким экспериментом можно подтвердить справедливость теоремы Гаусса?

5. Как зависят плотность заряда и напряжённость электрического поля от формы проводника?

6. Предложите демонстрационный опыт, прямо показывающий зависимость плотности заряда от площади проводника.

7. В чём дидактическая ценность опыта с обнаружением электрического поля вблизи одной и двух параллельных заряженных проводящих пластин?

8. Нужно ли в школе рассматривать метод точного подтверждения закона Кулона?

Литература

Бутиков Е.И. , Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3-х кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.

Демонстрационный эксперимент по физике в старших классах средней школы: Т. 2. Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред. А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.

Кабардин О.Ф. , Орлов В.А. , Эвенчик Э.Е . Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл. изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение, 1997.

Учебное оборудование для кабинетов физики общеобразовательных учреждений: Под ред. Г.Г.Никифорова. - М.: Дрофа, 2005. (Cм. также «Физика» («ПС») № 10/2005; № 4/2007.)

Определим напряженность электрического поля заряженных тел простой формы: шара и плоскости. Приблизительно сферическую форму имеют многие тела в природе и технике: атомные ядра, капли дождя, планеты и т. д. Плоские поверхности тоже встречаются нередко. Кроме того, небольшой участок любой поверхности можно приближенно считать плоским.

Поле шара. Рассмотрим заряженный проводящий шар радиусом Заряд равномерно распределен по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, как вытекает из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис. 112).

Обратите внимание: силовые линии вне шара распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда (рис. 113). Если совпадают картины силовых линий, то можно ожидать, что совпадают и напряженности полей. Поэтому на расстоянии от центра шара напряженность поля

определяется той же формулой (8.11), что и напряженность поля точечного заряда, помещенного в центре сферы:

К этому результату приводят и строгие расчеты.

Внутри проводящего шара напряженность поля равна нулю.

Поле плоскости. Распределение электрического заряда на поверхности заряженного тела характеризуется особой величиной - поверхностной плотностью заряда о. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределен. Если заряд равномерно распределить по поверхности, площадь которой 5, то

Наименование единицы поверхностной плотности заряда

Из соображений симметрии очевидно, что силовые линии электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости (рис. 114). Поле бесконечной плоскости - однородное поле, т. е. во всех точках пространства, независимо от расстояния до плос кости, напряженность поля одна и та же. Она определяется поверхностной плотностью заряда .

Для нахождения зависимости напряженности поля от поверхностной плотности заряда о можно использовать часто применяемый в физике метод, основанный на знании наименований физических величин. Единица напряженности электрического поля имеет наименование а единица поверхностной плотности заряда

Чтобы в этом случае получить правильное наименование единицы напряженности поля, мы должны допустить, что

Рассмотрим теперь с помощью теоремы Гаусса, поле, создаваемое равномерно заряженной тонкой сферической оболочки. Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление − радиальное, от центра сферы к точке наблюдения.
 Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис. 251).

Рис. 251
Пусть радиус сферы r больше радиуса оболочки. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы Ф E = E × 4πr 2 . По теореме Гаусса это поток равен заряду сферы, деленному на электрическую постоянную Ф E = Q/ε o . Из равенства этих выражений получаем зависимость напряженности поля от расстояния

 Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы. Таким образом, результат, на доказательство которого И. Ньютон затратил несколько лет, получен нами почти автоматически. Подчеркнем, что для доказательства формулы (1) помимо теоремы К. Гаусса, потребовалось рассмотреть симметрию поля.
 Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис. 252)

рис. 252
также выражается формулой Ф E = E × 4πr 2 . Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.
 Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса r , имеет вид (график этой функции показан на рисунке 253)

рис. 253

>>Физика: Силовые линии электрического поля. Напряженность поля заряженного шара

Электрическое поле не действует на органы чувств . Его мы не видим.
Однако мы можем получить некоторое представление о распределении поля, если нарисуем векторы напряженности поля в нескольких точках пространства (рис.14.9 , слева). Картина будет более наглядной, если нарисовать непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают по направлению с векторами напряженности. Эти линии называют силовыми линиями электрического поля или линиями напряженности (рис.14.9 , справа).

Направление силовых линий позволяет определить направление вектора напряженности в различных точках поля, а густота (число линий на единицу площади) силовых линий показывает, где напряженность поля больше. Так, на рисунках 14.10-14.13 густота силовых линий в точках А больше, чем в точках В . Очевидно, .
Не следует думать, что линии напряженности существуют в действительности вроде растянутых упругих нитей или шнуров, как предполагал сам Фарадей . Линии напряженности помогают лишь наглядно представить распределение поля в пространстве. Они не более реальны, чем меридианы и параллели на земном шаре.
Однако силовые линии можно сделать видимыми. Если продолговатые кристаллики изолятора (например, хинина) хорошо перемешать в вязкой жидкости (например, в касторовом масле) и поместить туда заряженные тела, то вблизи этих тел кристаллики выстроятся в цепочки вдоль линий напряженности.
На рисунках приведены примеры линий напряженности: положительно заряженного шарика (см. рис.14.10 ); двух разноименно заряженных шариков (см. рис.14.11 ); двух одноименно заряженных шариков (см. рис.14.12 ); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (см. рис.14.13 ). Последний пример особенно На рисунке 14.13 видно, что в пространстве между пластинами ближе к середине силовые линии параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным . В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приближенно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.
Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на равных расстояниях друг от друга.
Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии непрерывны и не пересекаются, так как пересечение означало бы отсутствие определенного направления напряженности электрического поля в данной точке.
Поле заряженного шара. Рассмотрим теперь вопрос о электрическом поле заряженного проводящего шара радиусом R . Заряд q равномерно распределен по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, как вытекает из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис.14.14, а ).

Обратите внимание! Силовые линии вне шара распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда (рис.14.14, б ). Если совпадают картины силовых линий, то можно ожидать, что совпадают и напряженности полей. Поэтому на расстоянии r>R от центра шара напряженность поля определяется той же формулой (14.9), что и напряженность поля точечного заряда, помещенного в центре сферы:

) напряженность поля равна нулю . В этом мы скоро убедимся. На рисунке 14.14, в показана зависимость напряженности электрического поля заряженного проводящего шара от расстояния до его центра.
Картина силовых линий наглядно показывает, как направлена напряженность электрического поля в различных точках пространства. По изменению густоты линий можно судить об изменении модуля напряженности поля при переходе от точки к точке.

???
1. Что называют силовыми линиями электрического поля?
2. Во всех ли случаях траектория заряженной частицы совпадает с силовой линией?
3. Могут ли силовые линии пересекаться?
4. Чему равна напряженность поля заряженного проводящего шара?

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,

Бесконечная плоскость, заряженная с поверхностной плотностью заряда : для расчета напряженности электрического поля, созданного бесконечной плоскостью, выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна заряженной плоскости, а основания – параллельны ей и одно из оснований проходит через интересующую нас точку поля. Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен:

Ф= , с другой стороны он же: Ф=E

Приравняем правые части уравнений:

Выразим = - через поверхностную плотность заряда и найдем напряженность электрического поля:

Найдем напряженность электрического поля между разноименно заряженными пластинами с одинаковой поверхностной плотностью:

(3)

Найдем поле вне пластин:

; ; (4)

Напряженность поля заряженной сферы

(1)

Ф= (2) т. Гаусса

для r < R

; , т.к. (внутри сферы нет зарядов)

Для r = R

( ; ; )

Для r > R

Напряженность поля, созданного шаром, заряженным равномерно по всему объему

Объемная плотность заряда,

распределенного по шару:

Для r < R

( ; Ф= )

Для r = R

Для r > R

РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА

Электростатическое поле - эл. поле неподвижного заряда.
Fэл, действующая на заряд, перемещает его, совершая раборту.
В однородном электрическом поле Fэл = qE - постоянная величина

Работа поля (эл. силы)не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории = нулю.

В случае, если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль какой-либо траектории (рис. 1) двигается другой точечный заряд Q 0 , то сила, которая приложена к заряду, совершает некоторую работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна Так как dl /cosα=dr, то Работа при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 (1) от траектории перемещения не зависит, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Значит, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными Из формулы (1) видно, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по произвольному замкнутому пути L, равна нулю, т.е. (2) Если в качестве заряда, которого перемещают в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Еdl = E l dl , где E l = Ecosα - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (2) можно представить в виде (3) Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, которое обладает свойством (3), называетсяпотенциальным. Из равенства нулю циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они обязательно начинаются и кончаются на зарядах (на положительных или отрицательных) или же идут в бесконечность. Формула (3) верна только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что с случае поля движущихся зарядов условие (3) не верно (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).

Теорема о циркуляции для электростатического поля.

Поскольку электростатическое поле является центральным, то силы, действующие на заряд в таком поле, являются консервативными. Так как представляет собой элементарную работу, которую силы поля производят над единичным зарядом, то работа консервативных сил на замкнутом контуре равна

Потенциал

Система "заряд - электростатическое поле" или "заряд - заряд" обладает потенциальной энергией, подобно тому, как система "гравитационное поле - тело" обладает потенциальной энергией.

Физическая скалярная величина, характеризующая энергетическое состояние поля называетсяпотенциалом данной точки поля. В поле помещается заряд q, он обладает потенциальной энергией W. Потенциал - это характеристика электростатического поля.

Вспомним потенциальную энергию в механике. Потенциальная энергия равна нулю, когда тело находится на земле. А когда тело поднимают на некоторую высоту, то говорят, что тело обладает потенциальной энергией.

Касательно потенциальной энергии в электричестве, то здесь нет нулевого уровня потенциальной энергии. Его выбирают произвольно. Поэтому потенциал является относительной физической величиной.

Потенциальная энергия поля - это работа, которую выполняет электростатическая сила при перемещении заряда из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом.

Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается электрическим зарядом Q. Для исследования потенциала такого поля нет необходимости в него вносить заряд q. Можно высчитать потенциал любой точки такого поля, находящейся на расстоянии r от заряда Q.

Диэлектрическая проницаемость среды имеет известное значение (табличное), характеризует среду, в которой существует поле. Для воздуха она равна единице.

Разность потенциалов

Работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую, называется разностью потенциалов

Эту формулу можно представить в ином виде

Принцип суперпозиции

Потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен алгебраической (с учетом знака потенциала) сумме потенциалов полей каждого поля в отдельности

Это энергия системы неподвижных точечных зарядов, энергия уединенного заряженного проводника и энергия заряженного конденсатора.

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна:

Равномерно заряженная плоскость.
Напряжённость электрического поля, создаваемого бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью заряда , можно рассчитать, воспользовавшись теоремой Гаусса.

Из условий симметрии следует, что вектор E везде перпендикулярен плоскости. Кроме того, в симметричных относительно плоскости точках вектор E будет одинаков по величине и противоположен по направлению.
В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания расположены симметрично относительно плоскости, как показано на рисунке.
Так как линии напряжённости параллельны образующим боковой поверхности цилиндра, то поток через боковую поверхность равен нулю. Поэтому поток вектораЕ через поверхность цилиндра

,

где - площадь основания цилиндра. Цилиндр вырезает из плоскости заряд . Если плоскость находится в однородной изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью , то

Когда напряженность поля не зависит от расстояния между плоскостями, такое поле называют однородным. График зависимости E (x ) для плоскости.

Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях R 1 и R 2 от заряженной плоскости, равна

Пример 2. Две равномерно заряженные плоскости.
Рассчитаем напряжённость электрического поля, создаваемого двумя бесконечными плоскостями. Электрический заряд распределен равномерно с поверхностной плотностями и . Напряженность поля найдем как суперпозицию напряжённостей полей каждой из плоскостей. Электрическое поле отлично от нуля только в пространстве между плоскостями и равно .

Разность потенциалов между плоскостями , где d - расстояние между плоскостями.
Полученные результаты могут быть использованы для приближённого расчета полей, создаваемых плоскими пластинами конечных размеров, если расстояния между ними много меньше их линейных размеров. Заметные погрешности таких расчётов появляются при рассмотрении полей вблизи краев пластин. График зависимости E (x ) для двух плоскостей.

Пример 3. Тонкий заряженный стержень.
Для расчёта напряжённости электрического поля, создаваемого очень длинным заряженным с линейной плотностью заряда стержнем, используем теорему Гаусса.
На достаточно больших расстояниях от концов стержня линии напряжённости электрического поля направлены радиально от оси стержня и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Во всех точках, равноудалённых от оси стержня, численные значения напряжённости одинаковы, если стержень находится в однородной изотропной среде с относительной диэлектрической
проницаемостью .

Для расчета напряженности поля в произвольной точке, находящейся на расстоянииr от оси стержня, проведём через эту точку цилиндрическую поверхность
(см. рисунок). Радиус этого цилиндра равен r , а его высота h .
Потоки вектора напряжённости через верхнее и нижнее основания цилиндра будут равны нулю, так как силовые линии не имеют составляющих, нормальных к поверхностям этих оснований. Во всех точках боковой поверхности цилиндра
Е = const.
Следовательно, полный поток вектора E через поверхность цилиндра будет равен

,

По теореме Гаусса, поток вектора E равен алгебраической сумме электрических зарядов, находящихся внутри поверхности (в данном случае цилиндра) делённой на произведение электрической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости среды

где заряд той части стержня, которая находится внутри цилиндра. Следовательно, напряжённость электрического поля

Разность потенциалов электрического поля между двумя точками, находящимися на расстояниях R 1 и R 2 от оси стержня, найдём, пользуясь связью между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Так как напряжённость поля изменяется только в радиальном направлении, то

Пример 4. Заряженная сферическая поверхность.
Электрическое поле, создаваемое сферической поверхностью, по которой равномерно распределён электрический заряд с поверхностной плотностью , имеет центрально-симметричный характер.

Линии напряжённости направлены по радиусам от центра сферы, а модуль вектораE зависит только от расстояния r от центра сферы. Для расчёта поля выберем замкнутую сферическую поверхность радиуса r .
При r o Е = 0.
Напряжённость поля равна нулю, так как внутри сферы заряд отсутствует.
При r > R (вне сферы), согласно теореме Гаусса

,

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей сферу.

.

Напряжённость уменьшается по тому же закону, что и напряженность поля точечного заряда, т. е. по закону .
При r o .
При r > R (вне сферы) .
График зависимости E (r ) для сферы.

Пример 5. Заряженный по объему шар из диэлектрика.
Если шар радиусом R из однородного изотропного диэлектрика с относительной проницаемостью равномерно заряжен по объёму с плотностью , то создаваемое им электрическое поле также является центрально-симметричным.
Как и в предыдущем случае, выберем замкнутую поверхность для расчёта потока вектора E в виде концентрической сферы, радиус которой r может изменяться от 0 до .
При r < R поток вектора E через эту поверхность будет определяться зарядом

Так что

При r < R (внутри шара) .
Внутри шара напряжённость возрастает прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара (при r > R ) в среде с диэлектрической проницаемостью , поток вектора E через поверхность будет определяться зарядом .
При r o >R o (вне шара) .
На границе "шар - окружающая среда" напряжённость электрического поля изменяется скачком, величина которого зависит от соотношения диэлектрических проницаемостей шара и среды. График зависимости E (r ) для шара ().

Вне шара (r > R ) потенциал электрического поля меняется по закону

.

Внутри шара (r < R ) потенциал описывается выражением

В заключение, приведем выражения для расчета напряженностей полей заряженных тел, различной формы

Разность потенциалов
Напряжение - разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории. Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля. Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора системы координат!
Единица разности потенциалов Напряжение равно 1 В, если при перемещении положительного заряда в 1 Кл вдоль силовых линий поле совершает работу в 1 Дж.

Проводник – это твердое тело, в котором имеются “свободные электроны”, перемещающиеся в пределах тела.

Металлические проводники в целом являются нейтральными: в них поровну отрицательных и положительных зарядов. Положительно заряженные – это ионы в узлах кристаллической решетки, отрицательные – электроны, свободно перемещающиеся по проводнику. Когда проводнику сообщают избыточное количество электронов, он заряжается отрицательно, если же у проводника «отбирают» какое-то количество электронов, он заряжается положительно.

Избыточный заряд распределяется только по внешней поверхности проводника.

1 . Напряженность поля в любой точке внутри проводника равна нулю.

2 . Вектор на поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна следует, что непосредственно у этой поверхности поле направлено по нормали к ней в каждой точке (условие 2 ). Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей заряды пришли бы в движение по поверхности проводника. т.е. равновесие зарядов на проводнике было бы невозможным.

Из 1 следует, что поскольку

Внутри проводника избыточных зарядов нет .

Заряды распределяются только на поверхности проводника с некоторой плотностью s и находятся в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного-двух межатомных расстояний).

Плотность заряда - это количество заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма, таким образом определяются линейная, поверхностная и объемная плотности заряда, которые измеряются в системе СИ: в Кулонах на метр [Кл/м], в Кулонах на квадратный метр [Кл/м²] и в Кулонах на кубический метр [Кл/м³], соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может иметь как положительные, так и отрицательные значения, это связано с тем, что существуют положительные и отрицательные заряды.

Общая задача электростатики

Вектор напряженности ,

по теореме Гаусса

- уравнение Пуассона.

В случае - нет зарядов между проводниками, получаем

- уравнение Лапласа.

Пусть известны граничные условия на поверхностях проводников: значения ; тогда данная задача имеет единственное решение согласно теореме единственности.

При решении задачи определяется значение и затем поле между проводниками определяется распределение зарядов на проводниках (по вектору напряженности у поверхности).

Рассмотрим пример. Найдем напряженность в пустой полости проводника.

Потенциал в полости удовлетворяет уравнению Лапласа;

потенциал на стенках проводника .

Решение уравнения Лапласа в этом случае тривиальное, и по теореме единственности других решений нет

, т.е. поля в полости проводника нет.

Уравне́ние Пуассо́на - эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

· электростатическое поле,

· стационарное поле температуры,

· поле давления,

· поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

где - оператор Лапласа или лапласиан, а - вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа - частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм - «релаксационный метод».

Будем рассматривать уединенный проводник, т. е. проводник, значительно удаленный от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, как известно, прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта известно, что разные проводники, будучи при этом одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать Величину (1) называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника задается зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. Емкость уединенного проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, формы и размеров полостей внутри проводника, а также его агрегатного состояния. Причиной этому есть то, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость также не зависит ни от заряда проводника, ни от его потенциала. Единица электроемкости - фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного проводника, у которого потенциал изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Согласно формуле потенциала точечного заряда, потенциал уединенного шара радиуса R, который находится в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен Применяя формулу (1), получим, что емкость шара (2) Из этого следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R=C/(4πε 0)≈9 10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С≈0,7 мФ). Следовательно, фарад - довольно большая величина, поэтому на практике применяются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (2) следует также, что единица электрической постоянной ε 0 - фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).

Конденса́тор (от лат. condensare - «уплотнять», «сгущать») - двухполюсник с определённым значением ёмкости и малой омической проводимостью; устройство для накоплениязаряда и энергии электрического поля. Конденсатор является пассивным электронным компонентом. Обычно состоит из двух электродов в форме пластин (называемых обкладками ), разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок.

Мкость

Основной характеристикой конденсатора является его ёмкость , характеризующая способность конденсатора накапливать электрический заряд. В обозначении конденсатора фигурирует значение номинальной ёмкости, в то время как реальная ёмкость может значительно меняться в зависимости от многих факторов. Реальная ёмкость конденсатора определяет его электрические свойства. Так, по определению ёмкости, заряд на обкладке пропорционален напряжению между обкладками (q = CU ). Типичные значения ёмкости конденсаторов составляют от единиц пикофарад до тысяч микрофарад. Однако существуют конденсаторы (ионисторы) с ёмкостью до десятков фарад.

Ёмкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга, в системе СИ выражается формулой: , где -относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами (в вакууме равна единице), - электрическая постоянная, численно равная 8,854187817·10 −12 Ф/м. Эта формула справедлива, лишь когда d много меньше линейных размеров пластин.

Для получения больших ёмкостей конденсаторы соединяют параллельно. При этом напряжение между обкладками всех конденсаторов одинаково. Общая ёмкость батареи параллельно соединённых конденсаторов равна сумме ёмкостей всех конденсаторов, входящих в батарею.

Если у всех параллельно соединённых конденсаторов расстояние между обкладками и свойства диэлектрика одинаковы, то эти конденсаторы можно представить как один большой конденсатор, разделённый на фрагменты меньшей площади.

При последовательном соединении конденсаторов заряды всех конденсаторов одинаковы, так как от источника питания они поступают только на внешние электроды, а на внутренних электродах они получаются только за счёт разделения зарядов, ранее нейтрализовавших друг друга. Общая ёмкость батареи последовательно соединённых конденсаторов равна

Или

Эта ёмкость всегда меньше минимальной ёмкости конденсатора, входящего в батарею. Однако при последовательном соединении уменьшается возможность пробоя конденсаторов, так как на каждый конденсатор приходится лишь часть разницы потенциалов источника напряжения.

Если площадь обкладок всех конденсаторов, соединённых последовательно, одинакова, то эти конденсаторы можно представить в виде одного большого конденсатора, между обкладками которого находится стопка из пластин диэлектрика всех составляющих его конденсаторов.

[править]Удельная ёмкость

Конденсаторы также характеризуются удельной ёмкостью - отношением ёмкости к объёму (или массе) диэлектрика. Максимальное значение удельной ёмкости достигается при минимальной толщине диэлектрика, однако при этом уменьшается его напряжение пробоя.

В электрических цепях применяются различные способы соединения конденсаторов . Соединение конденсаторов может производиться: последовательно , параллельно и последовательно-параллельно (последнее иногда называют смешанное соединение конденсаторов). Существующие виды соединения конденсаторов показаны на рисунке 1.

Рисунок 1. Способы соединения конденсаторов.