Проводниками называют тела с высокой концентрацией свободных заряженных частиц, способных перемещаться под действием электрического поля. Если сообщить проводнику некоторый избыточный заряд, то составляющие его свободные заряженные частицы будут перемещаться (положительные - в область с меньшим потенциалом, отрицательные - наоборот) до тех пор, пока потенциалы во всех точках проводника не станут одинаковыми. При этом достигается состояние, когда внутри проводника напряженность равна нулю, а на поверхности векторы напряженности перпендикулярны к ней. Если выбрать внутри проводника замкнутую поверхность S , которая очень близка к поверхности проводника (рис. 37.1), то в соответствии с теоремой Гаусса поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен нулю. Это означает, что внутри нее заряд отсутствует и весь избыточный заряд распределяется по внешней поверхности проводника. Выясним, от чего зависит поверхностная плотность заряда.

Для этого рассмотрим два металлических шарика, соединенных тонкой проволокой (рис. 37.2). Шарики и проволока составляют единый проводник и потому потенциалы их одинаковы во всех точках. Потенциал первого шарика равен , площадь его поверхности . Выразим заряд и поверхностную плотность заряда на поверхности этого шарика:

; .

Аналогичные выражения получаются для второго шарика:

; .

Разделив выражения для плотностей заряда, находим

Заряд, сообщенный проводнику, распределяется по внешней поверхности проводника, при этом поверхностная плотность заряда обратно пропорциональна радиусу поверхности.

Величина, обратная радиусу поверхности в данной ее точке, называется кривизной поверхности. Там, где меньше радиус, кривизна поверхности больше, и наоборот. У выступов и заострений кривизна поверхности максимальна, согласно выражению (37.1) там будет максимальна и поверхностная плотность заряда.

Таким образом, приходим к заключению:

Все точки внутри и на поверхности заряженного проводника имеют одинаковый потенциал,

Сообщенный проводнику заряд распределяется на внешней поверхности проводника,

Линии напряженности электростатического поля проводника перпендикулярны его поверхности.

Лекция 14. Проводники в электрическом поле.

Электроемкость проводников и конденсаторов.

Гл.11, §92-95

План лекции

Распределение зарядов на проводнике. Проводник во внешнем электрическом поле.

Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость шара.

Конденсаторы и их электроемкость. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов.

Энергия электростатического поля.

Распределение зарядов на проводнике. Проводник во внешнем электрическом поле.

Под словом «проводник» в физике понимается проводящее тело любых размеров и формы, содержащее свободные заряды (электроны или ионы). Для определенности в дальнейшем будем рассматривать металлы.

Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдалось условие равновесия (т.к. одноименные заряды отталкиваются, они располагаются на поверхности проводника).

т.к. аЕ=0, то

в любой точке внутри проводника Е=0.

во всех точках внутри проводника потенциал постоянен.

Т.к. при равновесии заряды не движутся по поверхности проводника, то работа по их перемещению равна нулю:

т.е. поверхность проводника является эквипотенциальной.

Если S - поверхность заряженного проводника, то внутри нееE=0,

т.е. заряды располагаются на поверхности проводника.

6. Выясним, как связана поверхностная плотность заряда с кривизной поверхности.

Для заряженной сферы

Плотность зарядов определяется кривизной поверхности проводника: растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно великана острие. При этом имеющиеся в воздухе в небольшом количестве ионы обоих знаков и электроны разгоняются вблизи острия сильным полем и ударяясь об атомы газа, ионизируют их. Создается область пространственного заряда, откуда ионы того же знака, что и острие, выталкиваются полем, увлекая за собой атомы газа. Поток атомов и ионов, направленный от острия, создает впечатление «стекания зарядов». При этом острие разрежается попадающими на него ионами противоположного знака. Возникающее при этом ощутимое движение газа у острия называют «электрическим ветром».

Проводник во внешнем электрическом поле:

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле его электроны (свободные заряды) приходят в движение, на поверхности проводника появляются индуцированные заряды, поле внутри проводника равно нулю. Это используют для электростатической защиты, т.е. экранировки электро- и радиоприборов (и человека) от влияния электростатических полей. Прибор окружают проводящим экраном (сплошным или в виде сетки). Внешнее поле компенсируется внутри экрана полем возникающих на его поверхности индуцированных зарядов.

Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость шара.

Если заряд на проводнике увеличить в несколько раз, потенциал в каждой точке поля, окружающего проводник, возрастет:

Электроемкость проводника численно равна заряду, который нужно сообщить проводнику для изменения его потенциала на единицу.

1 Ф - емкость проводника, которому нужно сообщить заряд 1 Кл для изменения потенциала на 1 В.

Емкость проводника не зависит от металла, из которого он изготовлен.

Емкость зависит от размеров и формы проводника, окружающей среды и наличия вблизи других проводников. В диэлектрике емкость увеличивается в раз.

Вычислим емкость шара:

Конденсаторы и их электроемкость. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов.

Емкость уединенных проводников невелика, но она резко возрастает при наличии рядом других проводников, т.к. потенциал уменьшается за счет противоположно направленного поля индуцированных зарядов.

Это обстоятельство позволило создать устройства - конденсаторы, которые позволяют при небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать на себе («конденсировать») заметные по величине заряды.

Конденсатор - система из двух проводников, разделенных диэлектриком, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга.

Поле сосредоточенно в пространстве между обкладками.

Конденсаторы разделяются:

по форме: плоские, цилиндрические, сферические;

по роду диэлектрика между обкладками:

воздушные, бумажные, слюдяные, керамические;

по виду емкости: постоянной и переменной емкости.

Обозначения на радиосхемах

Емкость конденсатора численно равна заряду, который нужно сообщить одной из обкладок, чтобы разность потенциалов между ними изменить на единицу.

.

Она зависит от размеров и формы обкладок, расстояния и диэлектрика между ними и не зависит от их материала.

Емкость плоского конденсатора:

S - площадь обкладок,d - расстояние между ними.

Емкость реального конденсатора определяется этой формулой тем точнее, чем меньше d по сравнению с линейными размерами обкладок.

а) параллельное соединение конденсаторов

по закону сохранения заряда

Если C 1 = C 2 = ... = C ,C об =CN.

б) последовательное соединение конденсаторов

Если С 1 = С 2 = ... = С,
.

Энергия электростатического поля.

А. Энергия заряженного проводника.

Если имеется заряженный проводник, то его заряд фактически «слеплен» из одноименных элементарных зарядов, т.е. заряженный проводник обладает положительной потенциальной энергией взаимодействия этих элементарных зарядов.

Если этому проводнику сообщить одноименный с ним заряд dq, будет совершена отрицательная работаdA , на величину которой возрастет потенциальная энергия проводника

,

где - потенциал на поверхности проводника.

При сообщении незаряженному проводнику заряда qего потенциальная энергия станет равной

т.к.
.

Б. Энергия заряженного конденсатора.

Полная энергия заряженного конденсатора равна той работе, которую надо совершить для его зарядки. Будем заряжать конденсатор, перенося заряженные частицы с одной пластины на другую. Пусть в результате такого переноса к какому-то моменту времени пластины приобрели заряд q, а разность потенциалов между ними стала равной

.

Для переноса очередной порции заряда dq необходимо совершить работу

Следовательно, полная энергия, затраченная на зарядку конденсатора

от 0 до q

Вся эта работа пошла на увеличение потенциальной энергии:

(1)

Объемная плотность энергии электростатического поля

Выразим энергию электрического поля конденсатора через величины, характеризующие электрическое поле:

(2)

где V=Sd- объем, занимаемый полем.

Формула (1) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (2) - с напряженностью поля. Где же локализована энергия, что является носителем энергии - заряды или поле? Ответ вытекает из существования электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве от передатчика к приемнику и переносящих энергию. Возможность такого переноса свидетельствует о том, что энергия локализована в поле и переносится вместе с ним. В пределах электростатики бессмысленно разделять энергию заряда и поля, поскольку постоянные во времени поля и обуславливающие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга.

Если поле однородно (плоский конденсатор), заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью.

объемная плотность энергии.

Чивилёв В.И. Проводники в электростатическом поле //Квант. - 1988. - № 1. - С. 38-39.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

«Хочу сообщить вам новый и страшный опыт, который никак не советую повторять... Вдруг моя правая рука была поражена с такой силой, что все тело содрогнулось, как от удара молнии. ...Одним словом, я думал, что пришел конец... Ради французской короны я не согласился бы еще раз подвергнуться столь жуткому сотрясению...» Это слова из воспоминаний лейденского профессора Мушенбрека, приведенные в книге В. Карцева «Приключения великих уравнений». Мушенбрек в 1745 году ставил опыты по электричеству и получил простейший конденсатор, названный впоследствии лейденской банкой. Во время опытов профессор и подвергся «столь жуткому сотрясению» в результате разряда конденсатора через человеческое тело, являющееся, как известно, проводником.

Тот факт, что в природе существуют проводники, обогащает окружающий нас мир разнообразными электрическими явлениями, среди которых есть и далеко небезопасные. Проводники занимают важное место при изучении электромагнетизма.

Рассмотрим подробно случай, когда заряженный неподвижный проводник находится во внешнем электростатическом поле (созданном посторонними неподвижными зарядами). В проводнике рано или поздно все заряды перестанут перемещаться, и наступит равновесие (так как в противном случае мы получили бы вечный двигатель в результате непрерывного выделения тепла при движении зарядов). Для такого заряженного и помещенного во внешнее электростатическое поле проводника будут справедливы утверждения, приведенные ниже.

1. Поле внутри проводника

В любой точке внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю. Действительно, при невыполнении этого условия свободные заряды в проводнике под действием сил поля пришли бы в движение, и равновесие было бы нарушено.

2. Распределение заряда в проводнике

Для того чтобы ответить на вопрос о распределении заряда в проводнике, нам надо уточнить некоторые свойства силовых линий электростатического поля. Напомним, что силовая линия электрического поля (в том числе и электростатического) - это воображаемая линия в пространстве, проведенная так, чтобы касательная к ней в каждой точке совпадала с вектором напряженности электрического поля в этой точке. Опыт изучения электростатических полей дает основание заключить, что силовые линии этих полей непрерывны и не замкнуты, они могут начинаться только на положительных зарядах и оканчиваться только на отрицательных и не могут начинаться (заканчиваться) в точке пространства, где нет зарядов. При графическом изображении поля некоторой системы зарядов число силовых линий, начинающихся или заканчивающихся на каком-либо заряде, пропорционально модулю этого заряда. Отсюда следует, что из любого заряда обязательно выходят (или входят в него) силовые линии.

После сказанного о силовых линиях возвратимся к вопросу о распределении заряда в проводнике. Выделим мысленно произвольный достаточно малый объем ΔV внутри проводника (рис. 1). Предположим, что этот объем имеет заряд (для определенности, положительный). Тогда из выделенного объема будут выходить силовые линии, т. е. вблизи него будет существовать электрическое поле. Но поля внутри проводника нет. Поэтому выделенный объем должен быть нейтрален. А поскольку этот объем взят нами в произвольном месте внутри проводника, то можно утверждать, что вся «внутренность» проводника нейтральна и, следовательно, весь заряд проводника находится на его поверхности.

3. Поле снаружи проводника вблизи его поверхности

Вектор напряженности электростатического поля в любой точке снаружи проводника вблизи его поверхности направлен перпендикулярно поверхности, что другими словами можно сказать так: силовые линии поля входят в проводник и выходят из него под прямым углом к поверхности проводника. В противном случае существовала бы составляющая вектора напряженности поля вдоль поверхности проводника, на свободные заряды на поверхности проводника действовала бы сила, имеющая составляющую вдоль поверхности. В результате этого по поверхности проводника стали бы двигаться заряды, что нарушило бы равновесие.

4. Распределение потенциала в проводнике

Покажем, что разность потенциалов любых двух точек проводника, включая точки поверхности, равна нулю. Пусть есть произвольные точки М и К внутри проводника. Перенесем мысленно из точки М в точку К пробный заряд q по некоторой траектории МВК , лежащей внутри проводника (рис. 2). Силы поля не совершат работы над перемещаемым зарядом q , так как поля внутри проводника нет. Поэтому разность потенциалов φ M - φ K = 0. Если точки М и К , одна или обе, лежат на поверхности проводника, то доказательство того, что разность потенциалов между ними равна нулю, аналогично.

Так как разность потенциалов любых двух точек проводника равна нулю, то потенциал всех точек проводника, включая точки поверхности, один и тот же. Поэтому говорят о потенциале проводника, не указывая конкретной его точки. Поскольку все точки поверхности проводника имеют одинаковый потенциал, поверхность проводника будет эквипотенциальной поверхностью.

5. Полость внутри проводника

Удалим из внутренней области проводника часть вещества. Так как удаляемое вещество нейтрально, то следует ожидать, что электростатическое поле во всех точках вне проводника, внутри проводника и в возникшей полости не изменится. И это будет действительно так, причем на внутренней поверхности проводника (на поверхности полости) зарядов не будет. Весь заряд проводника сосредоточится на внешней поверхности проводника, а наличие полости внутри проводника не скажется на распределении заряда по внешней поверхности. Поле в полости и в проводнике будет отсутствовать. Потенциал всех точек проводника и полости окажется одинаков.

Короче говоря, полый проводник, имеющий заряд и помещенный во внешнее электростатическое поле, ведет себя так же, как и соответствующий сплошной. Доказательство этого утверждения приводить не будем, но заметим, что оно подтверждено многочисленными опытами, проведенными еще Г. Кавендишем (1731-1810) в конце XVIII века и М. Фарадеем (1791-1867) в начале XIX века.

Распределение электрического заряда по поверхности уединённого проводника.

Изучение электростатики проводников затруднено тем, что распределение электрического заряда по наружной поверхности одного и того же проводящего тела в разных условиях может оказаться совершенно различным. Исключение составляет случай распределения электрического заряда по поверхности уединённого проводника в бесконечном однородном изотропном пространстве. Это распределение зависит только от формы граничной поверхности проводника. Ниже для простоты изложения будем рассматривать уединённые проводники в вакууме. У математиков задача о распределении электрического заряда по поверхности проводника носит название «задача Робена». Различают объёмный (трехмерный) случай и двумерный случай задачи Робена. В двумерном случае в качестве проводника рассматривают бесконечный цилиндр произвольного поперечного сечения. Вне проводника потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа, на поверхности проводника потенциал обращается в нуль, а интеграл по поверхности проводника от нормальной производной потенциала пропорционален величине суммарного электрического заряда. В плоском (двумерном) случае для решения задачи Робена эффективны методы теории функций комплексного переменного, в частности, метод конформного отображения.

Допустим, что проводник является эллипсоидом, уравнение граничной поверхности которого описывается в декартовой системе координат уравнением

Известно (Ф.Франк, Р.Мизес. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. – Л.-М.: ОНТИ. Гл. редакция общетехнической литературы. – 1937.-998с., стр. 706) распределение поверхностной плотности электрического заряда по поверхности проводящего эллипсоида:

. (2)

Из этого соотношения следует оценка

где т.е. поверхностные плотности электрического заряда в точках пересечения осей эллипсоида с поверхностью. Если размер а очень велик, а размеры b и c малы, то становится очень большой. Вспомним, что эта величина пропорциональна нормальной составляющей напряжённости электростатического поля вблизи поверхности проводника. Электрический пробой зависит от величины напряжённости электростатического поля. Получается, что пробой происходит в окрестности «острого» конца вытянутого в одном направлении эллипсоида.

Для проводящего шара имеем

, , (4)

распределение поверхностной плотности электрического заряда является равномерным.

Неравномерность распределения электрического заряда по поверхности произвольного проводника является причиной погрешности, возникающей, например, при элементарном, упрощённом расчёте ёмкости конденсатора конечных размеров. Строгий учёт «краевых эффектов» иногда представляет собой довольно сложную задачу. В частности, вывод соотношения (2) требует введения эллипсоидальных координат, умения записать уравнение Лапласа в этих координатах, построить решение полученного уравнения в частных производных с переменными коэффициентами (т.е. получить распределение потенциала электростатического поля вне проводящего эллипсоида), вычислить напряжённость электростатического поля в окрестности граничной поверхности эллипсоида и, наконец, вычислить величину поверхностной плотности электрического заряда на поверхности проводящего эллипсоида. Только в редких исключительных случаях решение задач рассматриваемого типа можно получить в замкнутой аналитической форме, в остальных случаях решение получают с помощью численных методов, используя специальное программное обеспечение современных компьютеров.

Идеальной физической моделью заряда в электростатике является точечный заряд.

Точечным зарядом называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел или до рассматриваемой точки поля. Иными словами, точечный заряд - это материальная точка, которая имеет электрический заряд.

Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рассматривать как точечный заряд, то в этом случае необходимо знать распределение зарядов внутри тела.

Выделим внутри заряженного тела малый объем и обозначим через электрический заряд, находящийся в этом объеме. Предел отношения , когда объем неограниченно уменьшается, называют объемной плотностью электрического заряда в данной точке . Обозначают ее буквой :

Единицей объемной плотности заряда в СИ является кулон на кубический метр (Кл/м 3).

В случае неравномерно заряженного тела плотность различна в разных точках. Распределение заряда в объеме тела задано, если известно как функция координат.

В металлических телах заряды распределяются только внутри тонкого слоя, прилегающего к поверхности. В этом случае удобно пользоваться поверхностной плотностью заряда , которая представляет собой предел отношения заряда к площади поверхности, по которой распределен этот заряд:

где - заряд, находящийся на участке поверхности площадью .

Следовательно, поверхностная плотность заряда измеряется зарядом, приходящимся на единицу поверхности тела. Распределение зарядов по поверхности описывается зависимостью поверхностной плотности (x, y, z) от координат точек поверхности.

Единицей поверхностной плотности заряда в СИ является кулон на квадратный метр (Кл/м 2).

В том случае, если заряженное тело по форме представляет собой нить (диаметр поперечного сечения тела много меньше его длины , удобно использовать линейную плотность заряда

где - заряд, находящийся на длине тела.

Единицей линейной плотности заряда в СИ является кулон на метр (Кл/м).

Если известно распределение зарядов внутри тела, то можно вычислить напряженность электростатического поля, создаваемого этим телом. Для этого заряженное тело мысленно разбивают на бесконечно малые части и, рассматривая их как точечные заряды, вычисляют напряженность поля, создаваемую отдельными частями тела. Суммарную напряженность поля находят затем суммированием полей, создаваемых отдельными частями тела, т.е.