Как найти x вершины параболы. Как найти координаты вершины параболы
Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.
График функции y = ax 2 + bx + c, где a - первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.
У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.
Первый способ
Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0 .
Например, y =x 2 –8 x +15;
находим первый, второй коэффициенты и свободный член;
- a =1, b =-8, c =15;
подставляем значения a и b в формулу;
- x0=8/2=4;
вычисляем значения y;
- y0 = 16–32+15 = -1;
Значит, вершина находится в точке (4;-1).
Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.
Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5
1) Приравниваем к нулю:
- x 2 –6x+5=0.
2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:
- D =36–20=16.
3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:
- 1 — первый корень;
- 5 — второй корень.
4) Вычисляем:
- x0 =(5+1)/2=3
Второй способ
Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.
1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.
2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.
У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:
x 2 + 8x +16= 6.
3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.
4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).
Третий способ
Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина - точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:
1. Нахождение первой производной по формуле f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.
2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.
Рассмотрим этот способ подробнее.
Дана функция y = 4x²+16x-17;
- Записываем производную и приравниваем к нулю.
f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0
Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.
Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).
1) Строим таблицу
Правильно находите коэффициенты .
Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.
Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.
Обратите ваше внимание на то, что:
- Нужно проверять правильно ли ваше решение.
- Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.
Видео
Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.
Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки построены в соответствии с квадратным уравнением. Главное в построении этой кривой – найти вершину параболы . Это можно сделать несколькими способами.
Инструкция
Чтобы найти координаты вершины параболы , воспользуйтесь следующей формулой: х=-b/2а, где а – коэффициент перед х в квадрате, а b – коэффициент перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. Затем подставьте полученное значение вместо х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Например, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу найдите следующим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1-3).
Значение ординаты параболы можно найти и без предварительного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.
Если вы знакомы с понятием производной, найдите вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись следующим свойством любой функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Так как вершина параболы , независимо от того, направлены ее ветви вверх или вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В общем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.
Попробуйте найти вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого найдите точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы найдете х1 и х2. Так как парабола симметрична относительно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Чтобы ее найти, разделим расстояние между точками пополам: х=(Iх1-х2I)/2.
Если какой-либо из коэффициентов равен нулю (кроме а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Например, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0-с). Если же не только коэффициент b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0-0).
В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.
Общий вид
В общем виде имеет следующую структуру:
В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:
(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.
В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти После этого к ним приравнять многочлен и найти х.
Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а 2 +3а+2=0.
Д=3 2 -4*1*2=1;
а 1 =(-3-1)/2*1=-2;
а 2 =(-3+1)/2*1=-1.
При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:
x+7=-2 и x+7=-1;
Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.
Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:
где х вп - это значение х-координаты искомой точки.
Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:
Находим значение х-координаты для вершины параболы:
х вп =-b/2a=-3/2*1;
Находим значение у-координаты для вершины параболы:
у=2х 2 +4х-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;
В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5;-7,25).
Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное - это произвести правильные расчеты координат точек.
Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.
Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке - вверх.
Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.
Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.
Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:
где Д - это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.
x 1 =(-b+V - Д)/2a
x 2 =(-b-V - Д)/2a
Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.
После этого отмечаем на вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.
Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.
Нагаева Светлана Николаевна, учитель математики МАОУ « Лицей №1» города Березники.
Проект урока по алгебре в 9 классе (гуманитарный профиль).
«Наиболее глубокий след оставляет то, что человек открыл сам».(Д. Пойя.)
Тема урока: «Вывод формул для вычисления координат вершины параболы».
Цели урока : познавательные :
Ожидаемый результат:
- осознание, принятие и разрешение проблемы учащимися;
Формирование способов получения новых знаний через сравнение и сопоставления фактов, способа от частного к общему;
Узнают формулы нахождения координат вершины и оси симметрии параболы для функций вида y = ax 2 +bx+c.
Тип урока: урок постановки учебной задачи. Методы обучения – наглядно-иллюстративный, словесный, обучение в сотрудничестве, проблемный, элементы технологии критического мышления.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран, слайды презентации по теме: «Формулы для нахождения координат вершины параболы»; листы формата А3; цветные маркеры.
Технология - системно-деятельностный подход.
Этапы урока:
Психологический настрой(мотивация).
Актуализация опорных знаний(создание ситуации успеха).
Постановка проблемы.
Формулирование темы и цели урока.
Решение проблемы.
Анализ хода решения проблемы.
Применение результатов решения проблемы в последующей деятельности.
Подведение итогов урока (итог «глазами» ученика, итог «глазами» учителя.).
Домашнее задание.
Ход урока:
Психологический настрой.
Задача: Учится решать общую задачу и работать в коллективе(работа в группах по 5 чел.).
Ребята, на протяжении последних четырёх уроков мы занимались изучением квадратичной функции, но знания наши пока ещё не совсем полные, поэтому мы продолжаем изучать квадратичную функцию с целью узнать что-то новое об этой функции.
Мотивация учащихся к самостоятельной постановке темы и цели урока.
Функция ; Не выполняя построения графика функций, можем ли мы ответить на вопросы: Что является графиком функций? Какая прямая является осью симметрии (если она существует)? 3. Есть ли вершина, каковы её координаты? |
||
Хочу узнать |
Таблица заполняется по ходу проведения урока.
Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Разминка. 1. Вынести за скобки старший коэффициент: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2.Выделить удвоенное произведение: ab; ax; b/a. 3.Возвести в квадрат: b/2; c 2 /a; 2a/3b. 4.Представить в виде алгебраической суммы: а – в; x –(- b/2a).
Объясните, как, зная вид графика функции y =ƒ( x ) , построить графики функций:
а) y =ƒ(x - a ) , - с помощью параллельного переноса на а единиц вправо вдоль оси х ;
б) y =ƒ(x ) + b , - с помощью параллельного переноса на b единиц вверх вдоль оси y ;
в) y =ƒ(x - а) + b , ↔ на а единиц, ↕ на b единиц;
г) Как построить график функции y = (x - 2) 2 + 3 ? Что является ее графиком?
Назовите вершину параболы.
Графиком является парабола y
=
x
2 с вершиной в точке (2; 3).
Назовите координаты вершины параболы: y =x- 4x + 5 ( проблема). Почему нельзя определить координаты вершины параболы по виду функции? (другой вид имеет квадратичная функция).
Деятельность учащихся:
Строят речевые конструкции с использованием функциональной терминологии.
Обсуждение ответов. Сравнивают, сопоставляют с ранее изученными функциями, выбирают и записывают на доске знания и умения, которые им могут понадобиться для решения проблемы в столбик «ЗНАЮ»:
2.
3.
4.
В столбик «Хочу узнать»:вершину, ось симметрии параболы
.
Учащиеся могут записывать в столбики «ЗНАЮ» и «ХОЧУ ЗНАТЬ» функции как в общем виде, так и частные случаи. Постановка учебной задачи: найти координаты вершины параболы, если квадратичная функция задана в общем виде y = ax+ bx + c . Учащиеся формулируют и записывают в тетрадь тему и цель урока. (Вывод формул для вычисления координат вершины параболы. Научиться находить координаты вершины параболы новым способом – по формулам).
Решение проблемы.
Деятельность учащихся:
Сравнивая «старые» знания с новыми знаниями учащиеся предлагают выделить полный квадрат. На конкретных примерах
;
и получают соответственно
;
. Находят координаты вершины и уравнение оси симметрии, Понимают, что с задачей справились, т.к. привели новую функцию к знакомому виду.
Учащиеся выделяют полный квадрат для функции
;
, сравнивают полученный результат, делают вывод по данной функции. Находят координаты вершины и ось симметрии.
Сможете ли вы назвать вершину и ось параболы, если функция задана в общем виде
, не выделяя полного квадрата? Как вы будете действовать в этом случае? И как применить ваш предыдущий опыт по нахождению вершины и оси параболы?
Деятельность учащихся:
Опираясь на уже имеющиеся знания, опыт учащиеся начинают понимать, что нужно идти дальше, от частного к общему, проводят доказательства в общем виде.
Появляются новые затруднения. В группах появляется решение: . Анализ хода решения проблемы. Заслушивается один представитель от каждой группы.
Сравнивают, анализируют записи
и
, записывается в тетрадь одно общее решение поставленной задачи - формулы координат вершины параболы
.
Учащиеся делают вывод: координаты вершины и ось параболы для функции
можно найти рациональным способом.
Применение результатов по решению проблемы в последующей деятельности.
Деятельность учащихся:
Решение заданий из учебника №121; 123. Найдите координаты вершины параболы новым рациональным способом. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы.
Подведение итогов (рефлексия учебной деятельности на уроке).
Вернемся к таблице и заполним столбик «УЗНАЛ».
Итог урока «глазами» учащихся:
ХОЧУ УЗНАТЬ | ||
2. 3. 4. 5. знаю, как построить графики этих функций 6. знаю, как найти координаты вершины этих парабол и ось параболы 7. метод выделения полного квадрата 8. как находить координаты вершин, ось параболы. | 2. уравнение оси симметрии параболы | 1. координаты вершины параболы 2 .как вывести формулу 3. рациональный способ нахождения оси параболы и координат вершины параболы |
Итог « глазами учителя»:
Цель урока достигнута.
Учащиеся осознали, приняли и разрешили возникшую проблему.
В процессе решения учебно-проблемной задачи учащиеся не только приобрели новые знания: зависимость коэффициентов квадратного трехчлена и координат вершины параболы, уравнения оси симметрии, но самое главное на уроке – формирование обобщенных способов приобретения новых знаний, самостоятельного анализа проблемы и нахождения неизвестного.
Домашнее задание : п.7 №122 ;127(б) ;128.
P.S. Представленный урок проведен 15 октября 2014 года в рамках городского семинара учителей математики по теме «Формирование УУД на уроках математики».
На этапе «Применение результатов…» при решении заданий из учебника некоторые учащиеся начали понимать ценность своего «открытия»: более простого способа нахождения координат вершины и уравнения оси симметрии, а другие не скрывали радости, ведь не надо «мучаться» с выделением полного квадрата. Но самое главное – сделали все сами!