Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Преобразование Фурье. Линейная фильтрация в частотной области

Главная / Земля

Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трёхмерные.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

Обозначения:

§ N - количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

§ - измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

§ - N комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

§ - обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

§ arg(X k ) - фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

§ k - частота k-го сигнала, равная , где T - период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены - возникает муаров эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

Рассмотрим некоторый периодический сигнал x (t ) c периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:

Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов: x n = x (t n ), где , тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:

Используя соотношение: , получаем:

где

Таким образом, мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.

Умножим теперь скалярно выражение для x n на и получим:


Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:

Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье .

В литературе принято писать множитель в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом, преобразование может быть реализовано как умножение квадратной матрицы на вектор:

Даётся программный код для прямого и обратного преобразования Фурье. Рассматривается быстрое преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - это мощный инструмент анализа, который широко используется в области цифровой обработки сигналов (ЦОС). Существуют прямое и обратное преобразования Фурье. Прямое дискретное преобразование Фурье переводит сигнал из временной области в частотную и служит для анализа частотного спектра сигнала. Обратное преобразование делает ровно противоположное: по частотному спектру сигнала восстанавливает сигнал во временной области.

Для расчёта преобразования Фурье обычно используется ускоренная процедура расчёта - т.н. быстрое преобразование Фурье (БПФ). Это позволяет в значительной мере сократить процессорное время на достаточно сложные и ресурсоёмкие математические расчёты.

1 Комплексные числа

Для начала нам потребуется вспомогательный класс, который будет описывать комплексные числа. Комплексные числа - это особый вид чисел в математике. Каждое комплексное число состоит из двух частей - действительной и мнимой. Сейчас нам достаточно знать о комплексных числах применительно к ДПФ то, что действительная часть комплексного числа хранит информацию об амплитуде сигнала, а мнимая - о фазе.

Код класса для описания комплексных чисел (разворачивается) """ """ Комплексное число. """ Public Class ComplexNumber """ """ Действительная часть комплексного числа. """ Public Real As Double = 0 """ """ Мнимая часть комплексного числа. """ Public Imaginary As Double = 0 Public Sub New() Real = 0 Imaginary = 0 End Sub """ """ Создаёт комплексное число. """ """ Действительная часть комплексного числа. """ Мнимая часть комплексного числа. Public Sub New(ByVal r As Double, Optional ByVal im As Double = 0) Real = r Imaginary = im End Sub Private usCult As New Globalization.CultureInfo("en-US") "используем культуру "en-US" чтобы целая и дробная части разделялись точкой, а не запятой """ """ Возвращает строку, состоящую из действительной и мнимой части, разделённых символом табуляции. """ Public Overrides Function ToString() As String Return (Real.ToString(usCult) & ControlChars.Tab & Imaginary.ToString(usCult)) End Function End Class

2 Прямое дискретное быстрое преобразование Фурье

На вход функции передаётся массив комплексных чисел. Действительная часть которого представляет произвольный дискретный сигнал, с отсчётами через равные промежутки времени. Мнимая часть содержит нули. Число отсчётов в сигнале должно равняться степени двойки. Если ваш сигнал короче, то дополните его нулями до числа, кратного степени 2: 256, 512, 1024 и т.д. Чем длиннее сигнал, тем у рассчитанного спектра будет выше разрешение по частоте.

Код для расчёта прямого быстрого преобразования Фурье на VB.NET (разворачивается) """ """ Рассчитывает спектр сигнала методом быстрого преобразования Фурье. Использовать только (N/2+1) возвращаемых значений (до половины частоты дискретизации). """ """ Сигнал, содержащий количество отсчётов, кратное степени двойки, и состоящий из действительной и мнимой частей. Все мнимые части сигнала заполнены нулями. """ Возвращает массив комплексных чисел спектра. """ Значимы только первые N/2+1, остальные - симметричная часть, соответствующая отрицательным частотам. """ Первое значение спектра - это постоянная составляющая, последнее - соответствует половине частоты дискретизации (частота Найквиста). """ Значения выше половины частоты дискретизации - не использовать. """ Public Shared Function FFT(ByVal signal As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = signal.Length "порядок ДПФ CheckFftOrder(order) "Проверяем, что порядок равен степени двойки Dim spectrumLen As Integer = order \ 2 Dim j As Integer = spectrumLen "Бит-реверсная сортировка: For i As Integer = 1 To order - 2 If (i < j) Then Dim tmpRe As Double = signal(j).Real Dim tmpIm As Double = signal(j).Imaginary signal(j).Real = signal(i).Real signal(j).Imaginary = signal(i).Imaginary signal(i).Real = tmpRe signal(i).Imaginary = tmpIm End If Dim k As Integer = spectrumLen Do Until (k > j) j -= k k \= 2 Loop j += k Next "Цикл по уровням разложения: For level As Integer = 1 To CInt(Math.Log(order) / Math.Log(2)) Dim lvl As Integer = CInt(2 ^ level) Dim lvl2 As Integer = lvl \ 2 Dim tmp As Double = Math.PI / lvl2 Dim sr As Double = Math.Cos(tmp) Dim si As Double = -Math.Sin(tmp) Dim tr As Double = 0 Dim ur As Double = 1 Dim ui As Double = 0 For jj As Integer = 1 To lvl2 "Цикл по спектрам внутри уровня For i As Integer = (jj - 1) To (order - 1) Step lvl "Цикл по отдельным "бабочкам" Dim ip As Integer = i + lvl2 tr = signal(ip).Real * ur - signal(ip).Imaginary * ui "Операция "бабочка" Dim ti As Double = signal(ip).Real * ui + signal(ip).Imaginary * ur signal(ip).Real = signal(i).Real - tr signal(ip).Imaginary = signal(i).Imaginary - ti signal(i).Real = signal(i).Real + tr signal(i).Imaginary = signal(i).Imaginary + ti Next tr = ur ur = tr * sr - ui * si ui = tr * si + ui * sr Next Next "Заполняем массив комплексных чисел, обработанных БПФ: Dim spectrum(order - 1) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To order - 1 With signal(i) spectrum(i) = New ComplexNumber(.Real, .Imaginary) End With Next Return spectrum End Function

3 Обратное дискретное быстрое преобразование Фурье

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) одним из этапов расчёта включает в себя прямое ДПФ на массиве комплексных чисел, где мнимая часть - это инверсия относительно оси X мнимой части спектра.

Код для расчёта обратного быстрого преобразования Фурье на VB.NET (разворачивается) """ """ Восстанавливает сигнал по его спектру методом обратного быстрого преобразования Фурье. """ """ Спектр сигнала, содержащий количество отсчётов, кратное степени двойки, и состоящий из действительной и мнимой частей. Public Shared Function InverseFFT(ByVal spectrum As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = spectrum.Length "Порядок обратного ДПФ. CheckFftOrder(order) "Изменение арифметического знака элементов мнимой части: For i As Integer = 0 To spectrum.Length - 1 spectrum(i).Imaginary = -spectrum(i).Imaginary Next "Вычисление прямого БПФ: Dim directFFT As ComplexNumber() = FFT(spectrum) "Деление на order во временной области со сменой арифметического знака мнимой части: Dim signal(directFFT.Length - 1) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To directFFT.Length - 1 Dim ReX As Double = directFFT(i).Real / order Dim ImX As Double = -directFFT(i).Imaginary / order signal(i) = New ComplexNumber(ReX, ImX) Next Return signal End Function

Ну и конечно же, опишем использовавшийся метод, который проверяет число элементов переданного массива:

"""

""" Проверяет, является ли порядок БПФ степенью двойки, и если нет - вызывает исключение. """ """ Порядок БПФ. Private Shared Sub CheckFftOrder(ByVal order As Integer) Dim chk As Double = Math.Abs(Math.Floor(Math.Log(order, 2)) - Math.Log(order, 2)) If (chk > 0.0001) Then Throw New ArgumentException(String.Format("Длина массива ({0}) не кратна степени двойки.", order)) End If End Sub

4 Проверка прямого и обратного преобразования Фурье

Теперь давайте проверим, что наши функции работают. Для этого пропустим произвольный сигнал через механизм прямого преобразования Фурье, а затем «соберём» его обратно с помощью обратного преобразования Фурье. Восстановленный сигнал должен практически совпадать с исходным. Ошибки округления, возникающие при работе с числами в компьютере, имеют место быть, поэтому сигналы не будут идентичны полностью, но их отклонение друг от друга должно быть пренебрежимо малым.

Для примера в качестве исходного сигнала возьмём функцию синуса и сформируем данные длиной 128 отсчётов вот таким образом:

Dim cn(127) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To cn.Length - 1 cn(i) = New ComplexNumber(Math.Sin(i * 3 * Math.PI / 180)) Next

Получим вот такой сигнал:

Здесь по оси X - номера отсчётов во временной области, по оси Y - амплитуда. Обратим внимание, что сигнал состоит только из действительных частей, а мнимая часть на всём отрезке равна "0".

Теперь передадим этот сигнал на вход функции FFT(). По полученным в ходе прямого преобразования Фурье массивам комплексных чисел построим два графика - действительной (Re) и мнимой (Im) частей спектра:


Здесь по оси X - отсчёты в частотной области, по оси Y - амплитуда. Чтобы получить реальные значения частоты, необходимо рассчитать их, учитывая, что "0" оси Y соответствует нулевой частоте, максимум оси Y соответствует частоте дискретизации.

Полученный спектр сигнала передадим функции обратного преобразования Фурье IFFT(). Получим массив комплексных чисел, где действительная часть будет содержать восстановленный сигнал:


Как видно, восстановленный сигнал полностью повторяет исходный.

Преобразование Фурье

При использовании преобразований Фурье изображение представляется в виде суммы сложных показательных функций переменных амплитуды, частоты и фазы. Преобразование Фурье играет очень важную роль во многих областях обработки изображений, включая улучшение, анализ, восстановление и сжатие.

  1. Основные определения преобразования Фурье
  2. Дискретное преобразование Фурье, включая быстрое преобразование Фурье
  3. Применение Фурье-преобразования (некоторые примеры практического применения преобразования Фурье)

Основные определения преобразования Фурье

Если ƒ(m,n) представляет собой функцию двух дискретных пространственных переменных m и n, тогда двумерное преобразование Фурье функции ƒ(m,n) может быть представлено следующим выражением

Переменные представляют собой угловые частоты. Таким образом, представляет собой функцию ƒ(m,n) в частотной области. является комплекснозначной функцией с соответствующими частотами . Частоты находятся в пределах диапазона , . Отметим, что F (0,0) представляется в виде суммы всех переменных ƒ(m,n) . По этой причине F (0,0) часто называют постоянной составляющей преобразования Фурье.

Обратное двумерное преобразование Фурье представляется выражением

Т.е. это выражение представляет ƒ(m,n) в виде суммы бесконечного числа сложных экспоненциальных функций (синусоид) с различными частотами. Амплитуда и фаза определяют вклад частот в представление .

Визуализация Фурье-преобразования

При иллюстрации Фурье-преобразования допустим, что функция ƒ(m,n) равна 1 и представлена в виде прямоугольника. Для упрощения диаграммы, функция ƒ(m,n) будет представляться непрерывной функцией двух дискретных переменных m и n .


Прямоугольная функция

На рисунке внизу с использованием функции mesh визуализировано значения амплитуд, которые получены при Фурье-преобразовании прямоугольной функции, представленной на предыдущем рисунке. Визуализацию амплитуды еще называют визуализацией преобразований Фурье.


Амплитуда изображения прямоугольной функции

Пик функции находится в центре и отображает значение F (0,0), которое является суммой всех значений ƒ(m,n) . Все остальные составляющие представляют собой распределение энергии по вертикальным и горизонтальным частотам.

Другой путь визуализации Фурье-преобразования заключается в отображении значений в виде изображения.


Логарифмическое представление Фурье-преобразования прямоугольной функции

Рассмотрим примеры преобразования Фурье функций различных простых форм.


Примеры Фурье преобразования функций различных простых форм

Дискретное косинусное преобразование

Дискретные косинусные преобразования представляют изображение в виде суммы синусоид с различной амплитудой и частотой. Функция dct2 в приложении Image Processing Toolbox реализует двумерные дискретные косинусные преобразования изображений. Одна из особенностей дискретного преобразования Фурье состоит в том, что некоторые локальные участки изображения можно охарактеризовать небольшим количеством коэффициентов дискретного преобразования Фурье. Это свойство очень часто используется при разработке методов сжатия изображений. Например, дискретное косинусное преобразование является основой международного стандарта, который используется в алгоритме сжатия изображений с потерями JPEG. Название формата “JPEG” состоит из первых букв названия рабочей группы, которая принимала участие в разработке этого стандарта (Joint Photographic Experts Group).

Двумерное дискретное косинусное преобразование матрицы A с размерами реализуется согласно следующему выражению

Значения B pq называют коэффициентами дискретного косинусного преобразования матрицы A .

(Следует отметить, что индексы матрицы в MATLAB всегда начинаются с 1, а не с 0. Поэтому элементы матрицы, которые представлены в MATLAB как A(1,1) и B(1,1), будут соответствовать элементам A 00 и B 00 из приведенной выше формулы.)

Обратное дискретное косинусное преобразование реализуется согласно выражениям

Выражение обратного дискретного косинусного преобразования может интерпретироваться как представление матрицы A с размерами в виде суммы следующих функций

Эти функции называются основными (базовыми) функциями дискретного косинусного преобразования. Коэффициенты дискретного косинусного преобразования B pq можно рассматривать как весовые при каждой базовой функции. Например, для матрицы с размером элементов существует 64 базовые функции, что продемонстрировано на изображении.


64 базовые функции, которые получены для матрицы с размерами элементов

Горизонтальные частоты увеличиваются слева направо, а вертикальные – сверху вниз.

Матрица дискретных косинусных преобразований

Приложение Image Processing Toolbox предлагает два различных пути реализации дискретных косинусных преобразований. Первый метод реализован в функции dct2. Функция dct2 использует быстрое преобразования Фурье для ускорения вычислений. Второй метод использует матрицу дискретных косинусных преобразований, которая возвращается функцией dctmtx. Матрица преобразований T формируется согласно следующего выражения

Для матрицы A с размерами представляет собой матрицу с размерами , где каждый столбец содержит одномерное дискретное косинусное преобразование A . Двумерное дискретное косинусное преобразование A вычисляется как B=T*A*T’ . Обратное двумерное дискретное косинусное преобразование B вычисляется как T’*B*T.

Дискретные косинусные преобразования и сжатие изображений

В алгоритме сжатия изображений JPEG исходное изображение разделяется на блоки с размерами или элементов. Далее для каждого блока вычисляется двумерное дискретное косинусное преобразование. Коэффициенты дискретных косинусных преобразований квантируются, кодируются и передаются. Получатель JPEG–данных декодирует коэффициенты дискретного косинусного преобразования, вычисляет обратное двумерное дискретное косинусное преобразование в каждом блоке и далее совмещает их вместе в одно изображение.

Рассмотрим пример вычисления двумерных дискретных косинусных преобразований в блоках с размерами элементов исходного изображения. Далее при реконструкции изображения будем учитывать только 10 коэффициентов из каждого блока, остальные приравняем к нулю. При проведении описанных вычислений будет использоваться также матрица преобразований.

I = imread("cameraman.tif"); I = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); mask = ; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",mask); I2 = blkproc(B2,,"P1*x*P2",T",T); imshow(I); figure, imshow(I2)

На рисунке представлено два изображения – исходное и реконструированное. При реконструкции изображения использовалось только 15 % коэффициентов дискретных косинусных преобразований. Однако, следует отметить, что качество реконструированного изображения является довольно приемлемым. Для просмотра других свойств дискретного косинусного преобразования см. функцию dctdemo.

Преобразования Радона

Функция radon в приложении Image Processing Toolbox вычисляет матрицу проекций изображения вдоль заданных направлений. Проекция двумерной функции f(x,y) равна интегралу вдоль указанной линии. Функция Радона представляет собой вычисление проекций изображения на оси, которые задаются углами в градусах относительно горизонтали против часовой стрелки. На рисунке показана проекция некоторой фигуры под указанным углом


Параллельно-лучевая проекция с углом поворота theta

На рисунке внизу показаны горизонтальные и вертикальные проекции для простой двумерной функции.


Горизонтальная и вертикальная проекции некоторой простой функции

Проекции могут вычисляться вдоль произвольного угла theta. Встроенная в приложение Image Processing Toolbox функция radon вычисляет проекции изображения вдоль определенных направлений. Проекция двумерной функции f(x,y) на ось x’ представляет собой линейный интеграл

Таким образом, оси x’ y’ задаются поворотом на угол против часовой стрелки.

На изображении внизу проиллюстрировано геометрию преобразования Радона.


Геометрия преобразования Радона

Визуализация преобразований Радона

При проведении преобразований Радона необходимо указать исходное изображение и вектор углов theta.

Radon(I,theta);

R представляет собой матрицу, в которой каждый столбец является преобразованием Радона для одного из углов, который содержится в векторе theta. Вектор xp содержит соответствующие координаты вдоль оси x. Центральный пиксель I определяется согласно выражению floor((size(I)+1)/2).

Рассмотрим, как в преобразованиях Радона вычисляются проекции. Рассмотрим проекции под углом 0° и 45°.

I = zeros(100,100); I(25:75, 25:75) = 1; imshow(I)

Radon(I,); figure; plot(xp,R(:,1)); title("R_{0^o} (x\prime)")

Преобразования Радона при 0°

Figure; plot(xp,R(:,2)); title("R_{45^o} (x\prime)")


Преобразования Радона при 45°

Преобразования Радона при большом числе углов часто отображается в виде изображения. В данном примере рассмотрено преобразования Радона для изображения в виде квадрата при диапазоне углов от 0° до 180° с дискретностью 1°.

Theta = 0:180; = radon(I,theta); imagesc(theta,xp,R); title("R_{\theta} (X\prime)"); xlabel("\theta (degrees)"); ylabel("X\prime"); set(gca,"XTick",0:20:180); colormap(hot); colorbar


Преобразования радона с использованием 180 проекций

Использование преобразований Радона при детектировании линий

Преобразования Радона аналогичны другим известным операциям, которые известны как преобразования Хоха. Функцию radon можно применять для детектирования прямых линий. Рассмотрим основные этапы этого процесса.


Наибольший пик в матрице R соответствует =1° и x´= -80. Из центра исходного изображения проводится линия под углом на расстояние x’. Перпендикулярно к этой линии проводится прямая, которая соответствует прямой на исходном изображении. Кроме того, на изображении присутствуют и другие линии, которые представлены в матрице R соответствующими пиками.


Геометрия преобразования Радона при детектировании прямых линий

Современную технику связи невозможно представить без спектрального анализа. Представление сигналов в частотной области необходимо как для анализа их характеристик, так и для анализа блоков и узлов приемопередатчиков систем радиосвязи. Для преобразования сигналов в частотную область применяется прямое преобразование Фурье. Обобщенная формула прямого преобразования Фурье записывается следующим образом:

Как видно из этой формулы для частотного анализа производится вычисление корреляционной зависимости между сигналом, представленным во временной области и комплексной экспонентой с заданной частотой. При этом по формуле Эйлера комплексная экспонента разлагается на реальную и мнимую часть:

(2)

Сигнал, представленный в частотной области можно снова перевести во временное представление при помощи обратного преобразования Фурье. Обобщенная формула обратного преобразования Фурье записывается следующим образом:

(3)

В формуле прямого преобразования Фурье используется интегрирование по времени от минус бесконечности до бесконечности. Естественно это является математической абстракцией. В реальных условиях мы можем провести интегрирование от данного момента времени, который мы можем обозначить за 0, до момента времени T. Формула прямого преобразования Фурье при этом будет преобразована к следующему виду:

(4)

В результате существенно меняются свойства преобразования Фурье . Спектр сигнала вместо непрерывной функции становится дискретным рядом значений . Теперь минимальной частотой и одновременно шагом частотных значений спектра сигнала становится:

, (5)

Только функции sin и cos c частотами k/T будут взаимно ортогональны, а это является непременным условием преобразования Фурье. Набор первых функций разложения в ряд Фурье приведен на рисунке 1. При этом длительность функций совпадает с длительностью анализа T .


Рисунок 1. Функции разложения в ряд Фурье

Теперь спектр сигнала будет выглядеть так, как это показано на рисунке 2.



Рисунок 2. Спектр функции x (t ) при анализе на ограниченном интервале времени

В данном случае формула вычисления прямого преобразования Фурье (4) преобразуется к следующему виду:

(6)

Формула обратного преобразования Фурье для случая определения спектра на ограниченном отрезке времени будет выглядеть следующим образом:

(7)

Подобным образом можно определить формулу прямого преобразования Фурье для цифровых отсчетов сигнала. Учитывая, что вместо непрерывного сигнала используются его цифровые отсчеты, в выражении (6) интеграл заменяется на сумму. В данном случае длительность анализируемого сигнала определяется количеством цифровых отсчетов N . Преобразование Фурье для цифровых отсчетов сигнала называется дискретным преобразованием Фурье и записывается следующим образом:

(8)

Теперь рассмотрим как изменились свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) по сравнению с прямым преобразованием Фурье на ограниченном интервале времени. Когда мы рассматривали дискретизацию аналогового сигнала, мы выяснили, что спектр входного сигнала должен быть ограничен по частоте. Это требование ограничивает количество дискретных составляющих спектра сигнала. Первоначально может показаться, что мы можем ограничить спектр сигнала частотой f д /2, что соответствует количеству частотных составляющих K = N /2 . Однако это не так. Несмотря на то, что спектр сигнала для действительных отсчетов сигнала для положительных частот и отрицательных частот симметричен относительно 0, отрицательные частоты могут потребоваться для некоторых алгоритмов работы со спектрами, например, для . Еще больше отличие получается при выполнении дискретного преобразования Фурье над комплексными отсчетами входного сигнала. В результате для полного описания спектра цифрового сигнала требуется N частотных отсчетов (k = 0, ..., N/2 ).



Выбор редакции

© 2024 solidar.ru -- Юридический портал. Только полезная и актуальная информация