Подобно героям фильма «Человек с бульвара Капуцинов» можно смело утверждать: «Далека дорога твоя». Но одна и та же дорога может быть разной. Когда-то расстояния наносились на карту в днях пути, и путь туда мог не равняться пути обратно. Ведь есть существенная разница, плетешься ли ты в гору или весело переставляешь ноги, спускаясь с горы.

При принятии решений расстояния между объектами также можно мерить по-разному, в зависимости от того, какая перед нами стоит задача и с какими данными мы имеем дело. В этой статье мы рассмотрим несколько методов определения расстояния между объектами и путей применения их на практике.

При принятии решений нам часто необходимо сравнивать объекты между собой. Среди прочего можно использовать представление этих объектов как точек в некотором многомерном пространстве. Допустим нам необходимо выбрать офис для филиала компании.

Для начала определимся с критериями, по которым мы будем оценивать имеющиеся предложения. Пусть это будут расстояние от складов, стоимость аренды, размер помещений и то, насколько нам нравится данный офис (вложим сюда субъективную оценку инфраструктуры). Каждое предложение, таким образом, может быть представлено в виде точки в четырехмерном пространстве.

В обычной жизни мы привыкли к расстоянию, измеренному с помощью формулы Евклида, – корень из суммы квадратов расстояний по каждому измерению. То есть, если нам нужно померить расстояние между диагонально расположенными углами коробки, размеры которой нам известны, нам не обязательно искать линейку. Если под рукой есть калькулятор, достаточно сложить квадраты ширины, высоты и длины и вычислить из них корень. Обратите внимание, формула работает как на плоскости, так и на объеме. Более того, формула верна и для большего числа измерений. Но не во всякой ситуации.

Обратимся за примером к карте Манхеттена (Нью-Йорк). Его география чрезвычайно проста и сводится к формуле: с севера на юг идут авеню, с запада на восток – стрит (см. рис. 1). Если вам надо попасть от южного конца первого авеню к пересечению Мэдисон-авеню и 96-й стрит, вы вольны выбрать любой маршрут. Если при этом вы всегда будете двигаться в сторону конечной точки, последовательно увеличивая номера стрит и авеню, которые вы прошли, расстояние, которое вы пройдете, не будет зависеть от конкретного выбранного маршрута. Оно будет равно сумме расстояния, пройденного по стрит, и расстояния, пройденного по авеню. Или иными словами – сумме расстояний между точками по каждому из параметров.

Рисунок 1. Манхеттенское расстояние не зависит от выбранного маршрута (maps.google.ru) D = ∑|x 1,i - x 2,i |, где x 1,i и x 2,i – i-я координата первого и второго объекта соответственно

Складывать напрямую выбранные параметры мы не можем. В связи с этим попытаемся оценить полезность офиса по каждому из параметрове .

Так как у нас имеется фиксированное множество предложений, мы можем найти минимальное и максимальное значение каждого из параметров. Теперь можно считать, что минимальное значение параметра соответствует нулевому значению полезности (или, в нашем случае, выигрыша в полезности), максимальное значение – единице, а все остальные значения находятся между нулем и единицей. За счет этого нехитрого трюка мы свели все параметры к одной безразмерной шкале, причем значения всех параметров измеряются от нуля до единицы. Теперь мы можем сравнивать тысячи рублей с единицами километров, и это не нарушит физический смысл задачи.

Но как нам сравнить офисы между собой? Очень просто, давайте сложим все значения полезностей для каждого из параметров. Количество параметров фиксировано, минимальное значение полезности равно нулю, максимальное – четырем. Отранжируем полученные значения и выберем тот офис, значение полезности у которого оказалось максимальным.

Поздравляю вас, вы использовали манхеттенское расстояние! В самом деле для того, чтобы определить разницу между офисами, мы используем разницу их полезности, определяемой как сумма разниц по каждому из параметров, то есть манхеттенское расстояние (еще известное как расстояние городских кварталов).

Но в отличие от Манхеттена Москва строилась не сразу, да и строилась по совсем другим принципам.

Допустим, что мы выбираем не офис, а квартиру. Для того чтобы оценить расстояние до работы мы будем использовать не километры, рассчитанные по формуле Евклида, а время, потраченное на дорогу. При этом? если у нас есть несколько вариантов маршрута, использующих различные виды транспорта, мы можем захотеть оценить это время по самому плохому варианту (надо же как-то объяснить риелтору, почему он должен дать нам скидку). В этом случае мы выберем максимум времени для путей на машине, трамвае и метро.

Такая оценка называется расстоянием Чебышева. В данном случае берется расстояние лишь по одному параметру, принимающему максимальное значение.

Мы могли бы использовать данную оценку и для выбора офиса. В этом случае будем смотреть не на сумму разницы полезностей по всем параметрам, а на максимум разницы между офисами.

Например, для двух офисов сумма полезностей примерно равна, но при этом инфраструктура первого офиса намного хуже инфраструктуры второго. Получается, что они не слишком отличаются по расстоянию, цене и площади, но очень отличаются по инфраструктуре. И захочется ли вам работать при прочих равных в плохих условиях? Нет, и в такой ситуации инфраструктура автоматически начинает иметь большее значение.

Теперь представим себе другую ситуацию. Пусть рассматриваемая система может иметь склонность к масштабированию. Например, если один город потребляет больше нашего товара, чем другой город, то это может попросту значить, что во втором городе больше жителей.

Впрочем, зависимость не всегда является столь очевидной. Для того чтобы бороться с подобной неоднозначностью, можно перейти к несколько иной логике измерения сходства между рассматриваемыми объектами. Перед этим мы считали каждый объект точкой в многомерном пространстве. Давайте представим теперь эту точку как один из концов вектора, причем все векторы будут стартовать в начале системы координат. Теперь вместо взаимного расположения точек и расстояний между ними мы можем использовать направление на объекты.

Представим себе, что перед нами экран радара, показывающего перемещения наших и чужих объектов: наши – с одной стороны, чужие – с другой. И те, и другие стараются перемещаться группами. В такой ситуации направление на объект становится более важным, чем расстояние до объекта.

Примерно так же направление становится более важным в пространстве с большим количеством признаков. Объекты, относящиеся к разным классам, обладают различными наборами признаков. Как следствие, для нас становится более важным, с какой стороны появились эти объекты, чем расстояние до них. Если количество параметров становится большим, само наличие или отсутствие значения по данному параметру может стать шумом.

В такой ситуации переходят к косинусной мере сходства. Не вдаваясь в подробности, определим ее как косинус угла между векторами, построенными на основе соответствующих объектов (см. рис. 2). Значения косинусной меры меняются от нуля до единицы.

Если два объекта находятся на одной прямой, проходящей между началом координат, эти объекты считаются одинаковыми (расстояние равно нулю). Подобная ситуация соответствует уже описанному потреблению в городах: если потребление продуктов в первом городе во столько же раз больше, чем во втором, во сколько население первого превосходит население второго, то их векторы будут направлены по одной прямой.

На практике соотношение вряд ли будет выполняться очень точно, однако все объекты будут указывать в одну и ту же сторону. Если два объекта максимально непохожи друг на друга (их векторы перпендикулярны), расстояние между ними будет равно единице.

Пытливый читатель может возразить, что опытный исследователь быстро придет к тому, что вместо построения векторов в двумерном пространстве (потребление, размер населения) можно перейти к одному измерению (потребление на душу населения). Но что делать, если у нас имеются десятки тысяч параметров, а в числителе и знаменателе стоят не отдельные параметры, а их комбинации? Применение косинусной меры позволяет нам в такой ситуации положиться на то, что векторы сами укажут на подобное соотношение. Даже если на практике оно не имеет формально описываемого смысла.

Но приведенные рассуждения наталкивают нас на еще одну мысль. А что если вместо привычной декартовой системы координат (привычной карты, см. рис. 3А) нам перейти к полярной (экран радара, показывающий угол на цель и дистанцию до нее, см. рис. 3В)? Особенно удобна такая ситуация в случаях, когда свои находятся близко, а чужие далеко. Тогда вместо того, чтобы пытаться описать несколько областей на плоскости, мы можем сказать, что вне зависимости от угла все, кто расположен на расстоянии меньше заданного, – свои, а все остальные – чужие (причем чужих можно различать в зависимости от угла на них).

Хлопотная и сложная задача становится простой после некоторого трюка – преобразования системы координат. Подобные преобразования могут проводиться по-разному, но общий смысл их примерно одинаков – мы пытаемся посмотреть на пространство по-другому и поменять систему координат. Правда, не все преобразования так же очевидны, как полярная система координат, поэтому мы не будем их сейчас рассматривать, а перейдем к следующей мере, определяющей сходство объектов.

Одним из вариантов преобразования пространства является сокращение его размерности с помощью таких методов, как метод главных компонент, эластичные карты или t-SNE.

Данные методы позволяют выделить комбинацию из нескольких главных параметров (в случае метода главных компонент) и представить точки в этом новом пространстве. Или попытаться натянуть на точки гибкий коврик и посмотреть, как они там расположатся (в случае метода эластичных карт). Или попытаться «вжать» точки в плоскость (как поступает метод t-SNE). В этом новом пространстве расположение точек может оказаться более удобным, чем в исходном многомерном.

Иногда нам гораздо важнее, что координаты объектов ведут себя сходным образом. Часть параметров принимает относительно небольшие значения, часть, наоборот, стремится вверх. Подобное поведение описывается с помощью корреляции, вычисляемой на двух последовательностях чисел.

Корреляция принимает значения от –1 до +1. Значение +1 говорит о том, что одна последовательность полностью повторяет поведение другой. Так, например, стоимость офисов в одном районе обычно коррелирует с их площадью, то есть увеличение площади влечет за собой рост цены и наоборот.

Корреляция, равная –1, означает противоположное поведение (рост загрязненности воздуха приводит к падению цены). Корреляция, равная нулю, означает полную независимость параметров (светимость Алголя от фаз Луны).

Примеры различных функций и их корреляций приведены на рис. 4. На практике корреляция ниже 0,8 означают очень невысокую зависимость параметров. Существует несколько вариантов вычисления корреляции, но обычно используется формула Пирсона.

Рисунок 4. Значение корреляции для различных функций (изображение взято с сайта ru.wikipedia.org)

Если вернуться к нашему примеру с арендой офиса, то с помощью корреляции можно будет, например, выделить три группы офисов.

В первой расстояние до складов будет невысоким и цена офиса также будет невысока, то есть офисы будут расположены недалеко от складов на окраине города. В нее же войдут офисы, расположенные далеко от складов, и дорогие, то есть расположенные ближе к центру. Эти две группы объединятся, так как и там, и там цены и расстояние находятся на одном уровне полезности.

Вторую группу составят недорогие офисы, расположенные далеко от складов, то есть на другом конце города или еще дальше от центра, чем склады.

Наконец, в третью группу попадут склады, расположенные недалеко от офиса, но дорогие (арендаторы зачем-то решили поднять цены?). И если первая группа имеет для нас какую-то ценность, то зачем смотреть на последние две?

На практике все может пойти не так. Использование различных мер сходства подобно расстановке запятых в фразе «Садись в ногах правды нет». Запятые после первого и третьего слов имеют очень разный смысл и приводят к различным результатам. Но как говорится: «Любой бой, который мы выиграли, является честным». Нам ведь нужно принять правильное решение и обосновать его. Здесь любая мера определения расстояния может быть одинаково ценна, особенно если заранее неизвестно, какая из них правильная.

Перед нами есть карта, и мы меряем расстояния по ней. Но фактически надо смотреть на подписи к карте, говорящие, что путь туда не равен пути оттуда. Если бы у нас был тоннель, мы могли бы смело аппроксимировать ситуацию по формуле Евклида. Но на самом деле придется идти через горы и овраги, поэтому больше подойдет манхеттенское расстояние или расстояние Чебышева (потому что 100 метров вверх – это много больше, чем 100 метров вперед).

В данной статье мы не рассмотрели более экзотические, но от этого не менее полезные расстояния Махаланобиса, Хэмминга, Дайса и французских железных дорог. Но ведь нашей задачей не было вот так сразу раскрыть все секреты, правда? Нам нужно было узнать, что расстояния могут измеряться по-разному, в зависимости от того, какая нам попалась задача. бит

Вконтакте

Сходство или различие между объектами классификации устанавливается в зависимости от выбранного метрического расстояния между ними. Если каждый объект описывается свойствами (признаками), то он может быть представлен как точка в -мерном пространстве, и сходство с другими объектами будет определяться как соответствующее расстояние. При классификации используются различные меры расстояния между объектами.

1. Евклидово расстояние

Это, пожалуй, наиболее часто используемая мера расстояния. Она является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:

Естественное, с геометрической точки зрения, евклидова мера расстояния может оказаться бессмысленной, если признаки измерены в разных единицах. Чтобы исправить положение, прибегают к нормированию каждого признака. Применение евклидова расстояния оправдано в следующих случаях:

• свойства (признаки) объекта однородны по физическому смыслу и одинаково важны для классификации;
• признаковое пространство совпадает с геометрическим пространством.

2. Квадрат евклидова расстояния

Данная мера расстояния используется в тех случаях, когда требуется придать больше значение более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом:

3. Взвешенное евклидово расстояние

Применяется в тех случаях, когда каждому -свойству удается приписать некоторый «вес» , пропорционально степени важности признака в задаче классификации:

Определение весов, как правило, связано с дополнительными исследованиями, например, организацией опроса экспертов и обработкой их мнений.

4. Хеммингово расстояние

Также называется манхэттенским, сити-блок расстоянием или расстоянием городских кварталов. Это расстояние является разностью по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Хеммингово расстояние вычисляется по формуле:

5. Расстояние Чебышева

Принимает значение наибольшего модуля разности между значениями соответствующих свойств (признаков) объектов:

6. Процент несогласия

Эта мера расстояния используется в тех случаях, когда свойства (признаки) объекта являются категориальными:

Title="P~=~VALUE~delim{|}{~A_{i}~~~B_{i}}{|}">

Например, первый признак объекта – пол, второй – возраст, третий – место работы. Представим значения свойств (признаков) объекта в виде вектора значений. Первый вектор – (муж, 20 лет, учитель), второй вектор – (муж, 28 лет, менеджер). Процент несогласия равен 2/3. Эти вектора различаются на 66.6%.

Выбор меры расстояния и весов для классифицирующих свойств – очень важный этап, так как от этих процедур зависят состав и количество формируемых классов, а также степень сходства объектов внутри классов.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ОБЪЕКТАМИ (МЕТРИКА)

Введём понятие "расстояние между объектами". Данное понятие является интегральной мерой сходства объектов между собой. Расстоянием между объектами в пространстве признаков называется такая величина d ij , которая удовлетворяет следующим аксиомам:

• 1. d ij > 0 (неотрицательность расстояния)
• 2. d ij = d ji (симметрия)
• 3. d ij + d jk > d ik (неравенство треугольника)
• 4. Если d ij не равно 0, то i не равно j (различимость нетождественных объектов)
• 5. Если d ij = 0, то i = j (неразличимость тождественных объектов)

Меру близости (сходства) объектов удобно представить как обратную величину от расстояния между объектами. В многочисленных изданиях посвященных кластерному анализу описано более 50 различных способов вычисления расстояния между объектами. Кроме термина "расстояние" в литературе часто встречается и другой термин - "метрика", который подразумевает метод вычисления того или иного конкретного расстояния. Наиболее доступно для восприятия и понимания в случае количественных признаков является так называемое "евклидово расстояние" или "евклидова метрика". Формула для вычисления такого расстояния:

В данной формуле использованы следующие обозначения:

• · d ij - расстояние между i-тым и j-тым объектами;
• · x ik - численное значение k-той переменной для i-того объекта;
• · x jk - численное значение k-той переменной для j-того объекта;
• · v - количество переменных, которыми описываются объекты.

Таким образом, для случая v=2, когда мы имеем всего два количественных признака, расстояние d ij будет равно длине гипотенузы прямоугольного треугольника, которая соединяет собой две точки в прямоугольной системе координат. Эти две точки будут отвечать i-тому и j-тому наблюдениям выборки. Нередко вместо обычного евклидового расстояния используют его квадрат d 2 ij . Кроме того, в ряде случаев используется "взвешенное" евклидово расстояние, при вычислении которого для отдельных слагаемых используются весовые коэффициенты. Для иллюстрации понятия евклидовой метрики используем простой обучающий пример. Матрица данных, приведенная ниже в таблице, состоит из 5 наблюдений и двух переменных.

Таблица 1

Матрица данных из пяти наблюдаемых проб и двух переменных.

Используя евклидову метрику, вычислим матрицу межобъектных расстояний, состоящую из величин d ij - расстояние между i-тым и j-тым объектами. В нашем случае i и j - номер объекта, наблюдения. Поскольку объем выборки равен 5, то соответственно i и j могут принимать значения от 1 до 5. Очевидно также, что количество всех возможных по парных расстояний будет равно 5*5=25. Действительно, для первого объекта это будут следующие расстояния: 1-1; 1-2; 1-3; 1-4; 1-5. Для объекта 2 также будет 5 возможных расстояний: 2-1; 2-2; 2-3; 2-4; 2-5 и т.д. Однако число различных расстояний будет меньше 25, поскольку необходимо учесть свойство неразличимости тождественных объектов - d ij = 0 при i = j. Это означает, что расстояние между объектом №1 и тем же самым объектом №1 будет равно нулю. Такие же нулевые расстояния будут и для всех остальных случаев i = j. Кроме того, из свойства симметрии следует, что d ij = d ji для любых i и j. Т.е. расстояние между объектами №1 и №2 равно расстоянию между объектами №2 и №1.

Весьма напоминает выражение для евклидового расстояния так называемое обобщенное степенное расстояние Минковского, в котором в степенях вместо двойки используется другая величина. В общем случае эта величина обозначается символом "р".

При р = 2 мы получаем обычное Евклидово расстояния. Так выражение для обобщенной метрики Минковского имеет вид:

Выбор конкретного значения степенного показателя "р" производится самим исследователем.

Частным случаем расстояния Минковского является так называемое манхэттенское расстояние, или "расстояние городских кварталов" (city-block), соответствующее р=1:

Таким образом, манхэттенское расстояние является суммой модулей разностей соответствующих признаков объектов. Устремив p к бесконечности, мы получаем метрику "доминирования", или Sup-метрику:

которую можно представить также в виде d ij = max| x ik - x jk |.

Метрика Минковского фактически представляет собой большое семейство метрик, включающее и наиболее популярные метрики. Однако существуют и методы вычисления расстояния между объектами, принципиально отличающиеся от метрик Минковского. Наиболее важное из них так называемое расстояние Махаланобиса, которое имеет достаточно специфические свойства. Выражение для данной метрики:

Здесь через X i и X j обозначены вектор-столбцы значений переменных для i-того и j-того объектов. Символ Т в выражении (X i - X j ) Т обозначает так называемую операцию транспонирования вектора. Символом S обозначена общая внутригрупповая дисперсионно-ковариационная матрица. А символ -1 над S означает, что необходимо обратить матрицу S . В отличие от метрики Минковского и евклидовой метрики, расстояние Махаланобиса через матрицу дисперсий-ковариаций S связано с корреляциями переменных. Когда корреляции между переменными равны нулю, расстояние Махаланобиса эквивалентно квадрату евклидового расстояния.

В случае использования дихотомических (имеющих всего два значения) качественных признаков широко используется расстояние Хемминга

равное числу несовпадений значений соответствующих признаков для рассматриваемых i-того и j-того объектов.

Модуль 2.

Лекция 17. Функция нескольких переменных

Раздел 17.1. n-мерное пространство

1. Многомерные пространства

2. Понятие расстояния (метрики). Метрическое пространство

3. Принципы кластерного анализа

Раздел 17.2 Функция нескольких переменных

1. Функция нескольких переменных

2. Частные производные

3. Двойной интеграл

4. Полярные координаты и интеграл Эйлера-Пуассона

Программные положения

В лекции рассматриваются вопросы, связанные с пространствами размерности больше двух: введение понятия расстояния, использования расстояния в кластерном анализе, функция нескольких (в нашем случае – двух) переменных, характеристика ее с помощью частных производных, а также вычисления площади и объема. Понятия функции двух переменных и двойного интеграла понадобятся нам при изучении случайных векторов в теории вероятностей. Завершается материал лекции вычислением интеграла Эйлера-Пуассона – одного из основных в теории вероятностей (неопределенный интеграл от функции Гаусса относится к неберущимся, а в случае наличия пределов интегрирования для вычисления подобных интегралов требуется применение неочевидных методов, один из которых и приводится здесь).

Перед изучением материала лекции повторите определение функции, производной, интеграла.

Литература

Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев «Краткий курс высшей математики» Глава ХХ (§1, 2.3,10), Глава XXIV (§1, 2,3,4,7)

Вопросы для самоконтроля

1. Какое пространство называется n-мерным?

2. Каким условиям должно удовлетворять расстояние?

3. Какое пространство называется метрическим?

4. Для чего используется кластерный анализ?

5. Что представляет собой график функции 2 переменных? Что такое линии уровня?

6. Что такое частная производная?

7. Дайте определение двойного интеграла. Как с его помощью вычислить площадь и объем?

8. Найдите расстояние между точками А(1,2,3) и В(5,1,0) (используя разные расстояния)

9.Найти линии уровня функций

z = x + y.

10. Найти частные производные функции

11.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

12. Вычислить

Раздел 17.1. Понятие многомерного пространства

Определение 17.1.1 . n-мерного пространства.

Если на плоскости R2 фиксирована прямоугольная система координат, то между точками плоскости и всевозможными парами чисел (х, у) (х и у - координаты точек) существует взаимно однозначное соответствие. Если в пространстве задана аналогичная система координат, то между точками пространства и их координатами - всевозможными тройками (x,y,z) - также существует взаимно однозначное соответствие.

Расстояние (метрика). Метрическое пространство

Определение 17.1.2

Метрическое пространство (M ,d ) есть множество точек М, на квадрате которого (то есть для любой пары точек из М) задана функция расстояния (метрика) . Она определяется следующим образом:

Для любых точек x , y , z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Наиболее привычным для нас является евклидово расстояние. Однако, это далеко не единственный способ его задания. Например, будет удовлетворять вышеупомянутым аксиомам такое расстояние: d(x,y) = 1 , если x ≠ y и d(x,y) = 0 , если x = y.

В зависимости от конкретных нужд или свойств пространства можно рассматривать различные метрики.

Рассмотрим несколько примеров расстояний:

Определения 17.1.3.

Евклидово расстояние. Это, по-видимому, наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:

d(x,y) = { i (x i - y i) 2 } 1/2

Заметим, что евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Это обычный способ его вычисления, который имеет определенные преимущества (например, расстояние между двумя объектами не изменяется при введении в анализ нового объекта, который может оказаться выбросом). Тем не менее, на расстояния могут сильно влиять различия между осями, по координатам которых вычисляются эти расстояния. К примеру, если одна из осей измерена в сантиметрах, а вы потом переведете ее в миллиметры (умножая значения на 10), то окончательное евклидово расстояние (или квадрат евклидова расстояния), вычисляемое по координатам, сильно изменится, и, как следствие, результаты кластерного анализа могут сильно отличаться от предыдущих.

Квадрат евклидова расстояния. Стандартное евклидово расстояние возводят в квадрат, чтобы придать большие веса более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом (к нему также относится замечание о влиянии единиц измерения из предыдущего пункта):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = i |x i - y i |

Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:

d(x,y) = max |x i - y i |

(max означает максимум – наибольшее из всех значений модулей разностей)

Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния . Степенное расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r

где r и p - параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как "работает" эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра - r и p , равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.

Во взаимодействии человека с окружающей средой восприятие пространства играет большую роль, являясь условием ориентировки. Представляет оно собой отражение объективно существующего пространства и включает в себя:

• Восприятие отдаления;
• Восприятие расстояния между объектами;
• Восприятие направления;
• Восприятие величины объектов;
• Восприятие формы объектов.

Тело человека тоже взаимодействует со средой и имеет свою систему координат, а сам человек имеет определенное место в пространстве. Среди всего, что воспринимает человек, восприятие пространства занимает особое место. В пространстве находятся все объекты материального мира и свершаются различные природные и социальные явления.

К пространственным свойствам одного объекта относятся величина и форма, а если этот же объект рассматривается в связи с другими объектами, то добавляется положение в пространстве, направление, расстояние. В пространственной ориентировке особую роль выполняет двигательный анализатор. С его помощью устанавливается взаимодействие между различными анализаторами. Бинокулярное зрение, бинауральный слух, бимануальное осязание, дириническое обоняние относят к специальным механизмам пространственной ориентировки.

Восприятие пространства в психологии рассматривается как отражение пространственных характеристик объектов внешней среды.

Зрительные восприятия одновременно базируются и на зрительных, и на двигательных ощущениях. Слуховые и обонятельные восприятия играют вспомогательную роль, а двигательные и осязательные – на близких расстояниях.

Зрение человека имеет способность различать удаленность предметов на расстоянии до 2,5 км. Предметы, расположенные дальше этого предела, воспринимаются человеком как размещенные на одной плоскости, звезды, например, представляются «размещенными» на внутренней поверхности сферы на одинаковом расстоянии от точки наблюдения, т.е. от глаз человека.

Визуальное восприятие удаленности обеспечивается бинокулярным зрением, т.е. видение двумя глазами. Ощущение удаленности появляется, потому что возникают зрительные различия в зрительных ощущениях от каждого глаза. Данные эффекты имеют физиологическую основу:

• Раздраженные одновременно точки на сетчатках левого и правого глаза не совпадают;
• Мускульные ощущения глазных мышц.

Чтобы определить расстояние до нескольких известных объектов чаще всего используют результат их взаимного соотнесения, если, например, футбольный мяч меньше теннисного, то совершенно понятно, что он расположен значительно дальше.

Определять расстояния до предметов человек может не только с помощью зрения, но еще с помощью слуха и обоняния, хотя вероятность становится меньше. Точность отражения в данном случае будет зависеть от индивидуальных особенностей человека. Двигательное восприятие тоже может дать определенную информацию о расстоянии, но только в пределах досягаемости руки или ноги. В качестве примера можно назвать перемещение человека в темной комнате – во избежание столкновения обычно вперед вытягивается рука или обшаривается пол ногой.

Восприятие величины

Величина предмета, которую воспринимает человек, зависит от их угловой величины и расстояния, с которого этот предмет наблюдается. Если знать величину предмета, то по его угловой величине можно определить расстояние до него. И, наоборот, зная, на каком расстоянии находится предмет, по его угловым размерам, определяется величина предмета.

Например, если смотреть в бинокль, зная величину предметов, человек видит их приблизившимися, но не увеличенными, а если на печатный шрифт смотреть в лупу, то буквы будут увеличенными, но не приблизившимися. Таким образом, в результате опыта развивается способность глаза сравнивать пространственные величины, направления и удаленность объекта от наблюдателя. Эта способность получила название глазомера.

Глазомер человека трехмерный, что значит, имеет способность сравнивать пространственные формы, расположенные в трех измерениях, включая плоскостный и глубинный. Сравнение это может относиться к линиям, поверхностям и объемам.

Плоскостный глазомер дает возможность сравнивать формы на плоскости, которая расположена в направлении, перпендикулярной зрительной оси.

Глубинный глазомер способен сравнивать пространственные формы в глубину.

Восприятие формы

Плоскостная форма предмета и её восприятие предполагает отчетливое различение его очертаний и границ, зависит это от четкости изображения, получающегося на сетчатке глаза.

На основании проведенных исследований константность формы объясняется действием периферических и центральных факторов. Восприятие трехмерных предметов насыщенно глубинными ощущениями и предметы, расположенные близко, кажутся несколько меньше. Действие фактора компенсирует действие перспективных сокращений.

С другой стороны, в константности восприятия формы, существенную роль играют представления, прошлый опыт. В экспериментах с псевдоскопом роль прошлого опыта выявлялась очень наглядно. Восприятие псевдоскоп ставит в условия обратной перспективы – ближние точки пространства переходят в дальние, а дальние в ближние. Следовательно, все вогнутые предметы должны восприниматься как выпуклые, а выпуклые, наоборот, как вогнутые. В результате получилось, что формы экспонатов, не закрепленных опытом, действительно так и воспринимаются.

Явление константности не срабатывает при восприятии объектов, которые находятся на очень большом удалении, у воспринимаемого объекта сглаживаются острые углы. Исчезают некоторые мелкие детали. Интересно, что лицо человека никогда не воспринимается в обратной перспективе.

Действие центральных факторов корригируют данные периферических раздражений и фактическое восприятие предметов обусловлено не только наличными периферическими раздражениями, но и прошлым опытом.

Восприятие направления

Данное восприятие является одним из важных моментов пространственного различения. Направление, в котором человек видит объект, определяется местом его изображения на сетчатке глаза и положением тела относительно окружающих предметов. Относительно горизонтальной плоскости Земли, тело человека занимает вертикальное положение. Данное положение и будет являться исходным для определения направления. В восприятии направления, кроме зрительных ощущений, большую роль играют кинестезические ощущения движений глаз, рук и статические ощущения – ощущения равновесия и положения тела.

Направление видимого предмета при бинокулярном зрении определяется законом тождественного направления, по которому раздражители, падающие на сетчатку, видятся в одном и том же направлении. Это направление дается линией, идущей как бы от одного «циклопического глаза», расположенного посередине лба.

Предметы, на которые смотрит человек, на сетчатке глаза перевернуты. Перемещение наблюдаемого объекта вызывает перемещение сетчаточного изображения в обратном направлении. Но, человек воспринимает предметы, как движущиеся, так и неподвижные вовсе не в искаженном виде, а такими, какими оптическая система глаз передает их на сетчатку. Происходит это благодаря сочетанию зрительных ощущений с тактильными, кинестезическими и другими сигналами.

При бинауральном слушании осуществляется восприятие направления звука. В основе дифференцировки направлений звука лежит разность во времени поступления сигналов в кору головного мозга от обоих ушей. Звуки могут локализоваться в разном направлении – по вертикали и горизонтали. В первом случае, как показали эксперименты, для восприятия пространственного расположения звука необходимы движения головы. Механизм локализации звука, таким образом, учитывает не только слуховые сигналы, но и данные других анализаторных систем.