Введение

Все разделы начертательной геометрии пользуются одним методом – методом проецирования, поэтому чертежи, применяемые не только в начертательной геометрии, называются проекционные чертежи .

Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Для этого представим некоторую заданную поверхность (рис.1) и точку А в пространстве. При проведении луча S через точку А в направлении поверхности последний пересечет ее в точке А 1 . Точку А называют проецируемой точкой . Плоскость α, на которой получают проекцию, называют плоскость проекций . Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А . Прямая А А 1 (луч), называется проецирующим лучом .

Центральный (конический или полярный) метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек (А , B , C и т.д.) все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования , или полюсом .

Представим в пространстве треугольник АВС и проецирующие лучи, проходящие через данный полюс S и через точки АВС треугольника, проведенные до пересечения с плоскостью α. Треугольник А 1 B 1 C 1 будет центральной проекцией треугольника АВС (рис.2).

Метод центрального проецирования не удовлетворяет целому ряду условий, необходимых для технического чертежа, а именно: не дает однотипности изображения, полной ясности всех геометрических форм, не обладает удобоизмеримостью, не имеет простоты изображения.

Метод параллельного (косоугольного) проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки треугольника АВС , будут параллельны между собой (рис.3). Этот метод вытекает из метода центрального проецирования, при этом полюс должен быть удален на бесконечно большое расстояние от плоскости, на которую проецируется предмет.

Ортогональный (прямоугольный) метод проецирования – метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций (рис.4). Данный метод – частный случай параллельного проецирования.

Таким образом, любая точка пространства может быть спроецирована на плоскости проекций: на горизонтальную П 1 , фронтальную П 2 и профильную П 3 . Горизонтальная проекция точки обозначается А 1 или А ′, фронтальная А 2 или А ″, профильная А 3 или А ′″ (рис.5).

1. Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование.

Под методом проецирования понимается существование плоскостей проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. (Проекцией точки А на плоскости П 0 есть точка А 0 пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций, который проходит через т А).

В зависимости от положения центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.

При центральном проецировании проецирующие лучи выходят с одной точки - центра проецирования S , который находится на определённом расстоянии от плоскости проекций П 0 . Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при изображении предметов в перспективе. Основной недостаток - трудность определения размеров по его изображению.

При параллельном проецировании , проецирующие лучи проходят параллельно один одному. В этом случае считают, что центр проекций отдален в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования - S и плоскость проекций. В зависимости от направления проецирования относительно плоскости проекций параллельные проекции могут быть прямоугольными, если проецирующие лучи проходят перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярные к плоскости проекций.

Основные свойства прямоугольного параллельного проецирования: 1) проекция точки есть точка; 2) проекция прямой есть прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то одноименная проекция точки находится на одноименной проекции прямой; 4) если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекция отрезка делится в таком же соотношении; 5) если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции то же параллельны; 6) если две прямые пересекаются между собой, то они имеют общую точку, проекции этих прямых так же имеют общую точку, связанную проекционной связью.

Операция проецирования сводится к изображению множества точек предмета на плоскости проекций. При этом необходимо, чтобы между изображенными точками на плоскости и точками поверхности устанавливалось взаимное соотношение. В качестве основных плоскостей проекций берут горизонтальную (П 1), фронтальную (П 2) и профильную (П 3). Две плоскости П 1 и П 2 делят пространство не четыре двухгранных угла (квадранты), а три плоскости П 1 , П 2 и П 3 - на восемь трехгранных углов (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций (x y z).

2.Чертеж точки в системе прямоугольных координат. Способы построения недостающих проекций точек.

Точка в пространстве определяется своими координатами, которые, как правило, имеют числовые значения, например А (x, y, z), А (10, 45, 15). Прямоугольные проекции точки на плоскостях проекций определяются как основания перпендикуляров, опущенных с точки на каждую с плоскостей проекций. Проекции точек обозначаются большими буквами латинского алфавита или числами.

А′ - горизонтальная проекция точки А;

А′′ - фронтальная проекция точки А;

А′′′ - профильная поекция точки А.

Для получения проекционного чертежа совмещают плоскости П 1 и П 3 с фронтальной плоскостью проекций П 2 поворотом соответственно около осей X и Z. Тогда на чертеже проекции А′ и А′′ размещаются на одном перпендикуляре к оси ОX, а А′′ и А′′′ - на одном перпендикуляре к оси ОZ. Известно три способа построения профильной проекции точки по данным двум проекциям.

При центральной проекции все проектирующие лучи проходят через определенную точку пространства – центр проекции. Физическим устройством, реализующим центральную проекцию, является объектив. При визуальном наблюдении роль объектива выполняет глаз. В объективе лучи, соединяющие сопряженные точки в пространстве предметов и изображений, проходят через заднюю главную точку, являющуюся центром проекции (рис. 1.5.3). Из этого основного свойства центральной проекции вытекает математический метод построения изображения: координаты каждой точки изображения могут быть вычислены путем определения точки пересечения прямой, проходящей через предметную точку и центр проекции , с поверхностью проекции (изображения). Если в выбранной объектной системе координат известны координаты точек и , а также уравнение поверхности изображения , то координаты точки изображения определяются в результате решения системы уравнений

Рис. 1.5.3. Общая схема центральной проекции

Поверхность проекции в большинстве случаев можно считать плоской. Это приближение достаточно точно выполняется и для глаза. Хотя светочувствительная поверхность глаза – сетчатка имеет почти сферическую форму, для области ясного зрения, ограниченной угловым размером в несколько градусов, ее вполне можно считать плоской.

В соответствии с законами оптики для получения резкого изображения необходимо, чтобы светочувствительная поверхность была перпендикулярна оптической оси объектива и располагалась на определенном расстоянии от центра проектирования, которое, как правило, принимают равным фокусному расстоянию . Фактически изображение располагается на картинном расстоянии от центра проектирования, которое всегда больше фокусного. Однако если предмет удален от объектива на расстояние , то разница между картинным и фокусным расстоянием незначительна. Таким образом, положение плоскости изображения легко фиксировано относительно центра проекции и оптической оси объектива. Если объектив разворачивается с тем, чтобы в его поле зрения попадали определенные объекты, то вместе с ним должна разворачиваться и плоскость изображения.

Если учесть отмеченные особенности центральной проекции в реальных устройствах формирования изображения, то связь координат точек пространства предметов и пространства изображений может быть выражена в иной форме, чем в системе уравнений (1.5.7). Введем систему координат для плоскости изображения, связанную систему координат объектива и систему координат пространства предметов (рис. 1.5.4). Особенность центральной проекции можно выразить следующим образом: векторы и , соединяющие центр проекции с сопряженными точками и , являются коллинеарными. Отсюда следует

где – константа для данной пары точек и .

Рис. 1.5.4. Схема разворотов плоскости изображения

Учитывая, что съемочная камера может быть развернута на углы и относительно осей , из (1.5.8) получаем

, (1.5.8)

где – координаты центра проектирования в системе ; – координаты центра проектирования в системе .

Если учесть, что поверхность проекции является плоской , начало координат системы , как правило, совпадает с главной точкой картинной плоскости , расположенной на расстоянии от , то

. (1.5.9)

Исключая в (1.5.9) константу путем деления первой и второй строк на третью, получаем уравнения, связывающие координаты сопряженных точек в системах и :

Из системы (1.5.10) по координатам точек изображения можно определить координаты сопряженных точек в пространстве предметов, если задано уравнение наблюдаемой поверхности . Затем по координатам точки , уравнению поверхности и известным условиям освещения могут быть определены атрибуты точки (яркость, цвет) и рассчитаны соответствующие атрибуты точки изображения . Описанная здесь кратко процедура синтеза изображений основана на отслеживании луча, исходящего из пространства изображений в пространство предметов, т.е. в направлении, противоположном ходу лучей в реальной системе. Этот подход в машинной графике назовем методом обратного трассирования лучей.

Характерной особенностью центральной проекции является существенное различие в масштабах изображения предметов, находящихся на различных расстояниях от центра проектирования. Это связано с уменьшением угловых размеров предмета (и соответственно с уменьшением линейных размеров в плоскости изображения) при удалении от съемочной сцены. На рис.1.5.5 приведен результат съемки предмета в виде полосы с нанесением на нее рисунка из периодически повторяющихся прямоугольников. Изменение ширины полосы и размеров прямоугольников создает ощущение глубины пространства. Принципиально изображение может быть рассчитано, например, по формулам (1.5.12), но его можно построить с достаточной степенью точности, если задать точку схода лучей. Расчеты с использованием координаты точки схода лучей значительно проще. Потому такой подход широко используется при имитации визуально наблюдаемой обстановки в видеотренажерах.

ЛЕКЦИЯ №4.

Тема: первичные информационные модели, одиночный снимок.

Вопросы:

Основные элементы центральной проекции

Системы координат, применяемые в фотограмметрии. Элементы ориентирования аэрофотоснимков.

Масштаб изображения на аэроснимке

Смещение изображения точки вследствие влияния угла наклона и рельефа метсности.

Самостоятельно.

К лекции № 4.

1. Определение элементов ориентирования снимка(с.161, 175). Прямая и обратная фотограмметрические засечки.

2. Определение элементов внешнего ориентирования снимка при фотограмметрической обработке его частей.

3. Математические методы, применяемые при решении фотограмметрических задач.

4. Технология цифровой обработки одиночного снимка.

Литература: А.И. Обиралов 2004г. 104-113.

Лекция №4

Первичные информационные модели.

Под первичными информационными моделями в фотограм­метрии и дистанционном зондировании понимают начальные результаты аэро- и космических съемок (снимки) в любой за­писи.

Для решения инженерных задач организации территорий, фор­мирования банка земельно-кадастровой информации используют­ся крупномасштабные планы, созданные по законам ортогональ­ного проецирования. Эти планы в настоящее время составляются в результате фотограмметрической обработки снимков, получен­ных с помощью кадровых АФА. Изображение на снимках строит­ся по законам центрального проецирования. Результаты этих ви­дов проецирования будут одинаковыми при аэрофотосъемке рав­нинной местности и отвесном положении оптической оси объек­тива АФА.

1. Основные элементы центральной проекции

При картографировании земной поверхности используют раз­личные законы построения изображения этой поверхности в мас­штабе - картографические проекции. Задачи организации терри­торий, земельного и городского кадастра, инженерных изысканий удобнее решать по планам, созданным по законам ортогонального проецирования, - точки элементов ситуации при этом проециру­ют на горизонтальную плоскость отвесными линиями с одновре­менным масштабированием результатов.

На снимках, полученных с помощью кадровых съемочных сис­тем, изображение, как отмечалось ранее, строится по законам центрального проецирования. Проектирующие лучи здесь пред­ставляют собой пучок линий, проходящих через единую точку - центр проекции.

Основные элементы центральной проекции (рис. 1.1) следую­щие:

S - центр проекции, в фотограмметрии - задняя узловая точка объектива съемочной камеры;

Р" - картинная плоскость (негативная) - фокальная плоскость объектива съемочной камеры;

Р- картинная плоскость позитивная;

Рис. 1.1 Основные элементы центральной проекции

Е - предметная плоскость - горизонтальная секущая плос­кость снимаемого участка местности;

о (о") - главная точка картины - главная точка снимка, получа­емая при пересечении главного луча (оптической оси) объектива съемочной камеры S 0 с плоскостью картины;

W - плоскость главного вертикала, проходящая через точку S перпендикулярно плоскостям Р(Р") и Е;

VoV(VoV") - главная вертикаль - след пересечения плоскостей Р(Р") и W ;

v 0 V - проекция главной вертикали;

n(n") - точка надира - точка пересечения плоскости Р{Р") с от­весным лучом;

N - проекция точки надира -точка пересечения плоскости Е отвесным лучом, проходящим через точку S ;

ар - угол наклона картины (снимка) - угол между плоскостя­ми Р(Р) и Е или лучами SO и SN ;

с(c ) - точка нулевых искажений - точка пересечения плоско­сти Р(Р) биссектрисой угла а Р ;

С - проекция точки нулевых искажений;

hnhn (h " nh " n ) - горизонталь, проходящая через точку n(n"), -ли­ния в плоскости Р(Р"), перпендикулярная v 0 v(VoV").

Горизонтали могут проходить через любую точку картины, на­пример через точку о - h 0 h o или точку с - hchc . В одной из систем координат снимка главную вертикаль v 0 v принимают за ось абс­цисс, а любую из горизонталей - за ось ординат.

Точки о, n , с располагаются на главной вертикали, а точки О, С, N - на ее проекции. Отстояния точек л и с от точки о определяют по формулам:

on=ftga P и ос =ftgap>/2.

Эти точки, в общем случае, близки друг к другу. Например, на плановых снимках при аp= 2° и f= 100 мм on = 3,5 мм и ос =1,8 мм, а на снимках, полученных с использованием гиростабилизирован-ной АФУ, при ар =20" оn= 0,6мм и ос = 0,3 мм. Это положение неоднократно будем использовать в дальнейшем при анализе мет­рических свойств снимков и описании технологии их примене­ния.

Расстояние oS - главное расстояние, и обозначают его буквой f. В фотограмметрии этот отрезок называется фокусным расстоя­ нием съемочной камеры. Расстояние SN=H называют высотой съемки.

Центральное проецирование. Свойства центрального проецирования. Примеры центрального проецирования точки, отрезка прямой треугольника

Ответ: ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Основными видами проецирования являются центральное и параллельное. Центральное проецирование представляет собой общий случай проецирования геометрических образов из некоторого центра на плоскость.

Пусть задана плоскость П1 и кривая линия k с точками А, В, С (рис.1.1).

Рис.1.1

Возьмем некоторую точку S, не лежащую в плоскости П1. Через точку S и точки А, В, С кривой k проведем прямые до пересечения с плоскостью П1 в точках A1, B1, C1. Проведя таким образом через S и каждую точку кривой k прямые, получим в плоскости П1 изображение k1 кривой k.

В соответствии с описанным построением введем следующие понятия:

S - центр проекций; П1 - плоскость проекций; кривая k с точками А, В, С - объект проецирования; SА, SВ, SС - проецирующие лучи; A1,B1,C1 - центральные проекции точек А, В, С; k1 - центральная проекция кривой k. Рассматривая каждую пространственную фигуру как совокупность точек, можно сказать, что проекция фигуры представляет собой множество проекций ее точек.

Свойства центрального проецирования:

1. Любая точка (кроме S) проецируется на плоскость проекций в единственную точку (рис.1).

2. Каждой точке (A, B, C, D,...), принадлежащей какой-либо линии (кривой или прямой), соответствует проекция (A1, B1, C1, D1, ...) этой точки на проекции данной линии (рис.1).

3. Кривая в общем случае проецируется в кривую, а прямая - в прямую. Если прямая совпадает с проецирующим лучом, например DE (рис.1), то она проецируется в точку D1 º E1. Плоскость, проходящая через центр проекций, проецируется в прямую и называется проецирующей. Кривая, все точки которой принадлежат проецирующей плоскости, проецируется в прямую.

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий (рис.1).

Центральное проецирование обладает большой наглядностью и применяется в строительном черчении, в архитектуре, в живописи и т.п. Недостатком центрального проецирования является сложность построения изображения предмета и определения истинных размеров. Поэтому оно имеет ограниченное применение в техническом черчении.

Параллельное проецирование свойства параллельного проецирования. Примеры параллельного проецирования точки отрезка прямой треугольника

1.3.3 Параллельное проецирование

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования.

Если центр проекций при центральном аппарате проецирования перенести в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Отсюда аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций П и направления Р. При центральном проецировании проецирующие лучи выходят из одной точки, а при параллельном проецировании - параллельны между собой.

В зависимости от направления проецирующих лучей параллельное проецирование может быть косоугольным, когда проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций, и прямоугольным (ортогональным), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Рассмотрим пример косоугольного параллельного проецирования.

Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1. Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А и В, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив параллельные проекции А1 и В1 мы получим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ.

Аналогично можно построить параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1.

Нажмите на картинку для просмотра...

Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А, В, C, D, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1, В1, С1, D1 точек A, B, C, D. Соединив параллельные проекции А1, В1, С1, D1 мы получим параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD.

Свойства проекций при параллельном проецировании:

Первые шесть свойств центрального проецирования справедливы и для параллельного проецирования. Перечислим ещё несколько свойств присущих параллельному проецированию:

Проекции параллельных прямых параллельны.

Нажмите на картинку для просмотра...

Из рисунка видно, что прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 образуют две параллельные плоскости a и b. Эти две плоскости пересекаются с П1. Следовательно, линии пересечения их А1В1 и С1D1 будут параллельны.

Если точка делит длину отрезка в отношении m:n, то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении.

Нажмите на картинку для просмотра...

Пусть точка С принадлежит отрезку АВ, причем |АС| : |СВ| = 2: 1. Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ. Точка С1 А1В1. Проведём АC" || А1C1 и CB" || C1B1, получим два подобных треугольника АCC" и CBB". Из их подобия следует пропорциональность сторон: |АC| : |СВ| = |AC"| : |CB"|, но |CB"| = |С1В1|, а |AC"| = |А1C1|, отсюда |АC| : |СВ| = |А1С1| : |C1B1|.

Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения.

Нажмите на картинку для просмотра...

Возьмём треугольник АВС и спроецируем его на две параллельные плоскости проекций П1" и П1. Так как длины отрезков равны |А1 А1"| = |В1 В1"| = |С1 С1"| и отрезки параллельны, то четырёхугольники А1 А1" В1 В1", В1 В1" С1С1", С1 С1"А1А1" являются параллелограммами. Следовательно, противоположные стороны их равны по длине |А1 В1| = |А1" В1"|, |В1 С1| = |В1" С1"|, |А1 С1| = |А1" С1"|, а значит, треугольники равны.

Аналогично, тоже самое можно доказать и для любой другой плоской фигуры. Параллельное проецирование, в отличие от центрального, обладает меньшей наглядностью, но обеспечивает простоту построения и большую взаимосвязь с оригиналом.

Ортогональное проецирование свойства ортогонального проецирования Эпюр Монжа точка в системе двух плоскостей точка в системе трех плоскостей координаты точки

Как уже было сказано выше ортогональное проецирование - это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.

Нажмите на картинку для просмотра...

Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.

Нажмите на картинку для просмотра...

Чтобы получить ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, П1. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся ортогональные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив ортогональные проекции А1 и В1 получим ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ.

Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.

Свойства ортогонального проецирования:

Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.

Нажмите на картинку для просмотра...

Возьмём прямую АВ и построим её ортогональную проекцию А1В1 на плоскость П1. Если провести прямую АС || А1В1, то из треугольника АВС следует, что |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А1В1| : cos a, т. к. |А1В1| = |АС|.

Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла: Теорема:

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Нажмите на картинку для просмотра... Доказательство:

Дан прямой угол АВС, у которого по условию прямая ВС АВ и ВС || плоскости проекций П1. По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ1. Следовательно, прямая ВС к плоскости b (АВхВВ1), т. к. она к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. По условию прямая В1С1 || ВС, поэтому тоже к плоскости b, т. е. и прямой А1В1 этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А1В1 и В1С1 равен 90°, что и требовалось доказать.

Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.

Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.

Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.

Эпюр Монжа или ортогональные проекции.

Суть метода ортогональные (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.

Аксонометрический чертеж.

Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY, или OXZ. Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала.

Перспективный чертеж.

При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала.

Проекции с числовыми отметками и др.

Чтобы получить проекции с числовыми отметками ортогонально проецируют оригинал на плоскость нулевого уровня и указывают расстояние от точек оригинала до этой плоскости.

Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.

Ортогональные проекции отрезка прямой общего положения прямые уровня и их проекции. Проецирующие прямые и их проекции примеры построения горизонтали, фронтали.

Прямая частного положения (или прямая уровня) - прямая, параллельная хотя бы одной из плоскостей проекций.

1. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью - h. На горизонтальную плоскость проекций горизонталь проецируется в натуральную величину.

2. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронталью - v. На фронтальную плоскость проекций фронталь проецируется в натуральную величину.

3. Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой - w. На профильную плоскость проекций профильная прямая проецируется в натуральную величину.

Прямая называется проецирующей, если она перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Одна из проекций такой прямой есть точка. Эта проекция называется главной или вырожденной. Все точки проецирующей прямой являются конкурирующими.

1. Горизонтально проецирующая прямая - прямая горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальной проекцией такой прямой является точка, а фронтальная и профильная проекции || оси z.

2. Фронтально проецирующая прямая - прямая фронтальной плоскости проекций. Фронтальной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и профильная проекции || оси y.

3. Профильно проецирующая прямая - прямая профильной плоскости проекций. Профильной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и фронтальная проекции || оси x.

Следы прямой примеры определения следов прямой общего положения прямых уровня

Следы прямой

След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).

Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H, в которой прямая встречается с горизонтальной плоскостью, а фронтальным – точка V, в которой данная прямая встречается с фронтальной плоскостью (рис. 20).

На рисунке 21а изображен горизонтальный след прямой, а ее фронтальный след, – на рисунке 21б.

Иногда также рассматривается профильный след прямой, W – точка пересечения прямой с профильной плоскостью.

Горизонтальный след находится в горизонтальной плоскости, т. е. его горизонтальная проекция h совпадает с этим следом, а фронтальная h́ лежит на оси х. Фронтальный след лежит во фронтальной плоскости, поэтому его фронтальная проекция ν́ совпадает с ним же, а горизонтальная v лежит на оси х.

Итак, H = h, и V = ν́. Следовательно, для обозначения следов прямой можно применять буквы h и ν́.

Взаимное расположение точки и прямой взаимное расположение точки и плоскости пример определения недостающей проекции точки лежащей в заданной плоскости треугольника

1.8.3. Взаимное расположение точек и прямой

Точка может либо лежать на прямой, либо быть вне ее. Если

точка находится на прямой, то в соответствии со свойством принад-

лежности (см. 3.3) ее проекции должны лежать на одноименных

проекциях прямой.

Если же точка находится вне прямой, то хотя бы одна из проек-

ций точки не будет лежать на одноименной проекции прямой (рису-

нок 29, точки В, С, D).

На рисунке 29 видно, что точка В нахо-

l дится над прямой l, т.к. она расположена

выше, чем горизонтально конкурирующая с

ней и лежащая на прямой точка помечен-

ная крестиком. Здесь же видно, что точка С

расположена за прямой l, поскольку она на-

фронтально конкурирующая с ней точка от-

l меченная крестиком. О точке D можно ска-

зать, что она находится ближе и ниже пря-

мой l, т.к. она ближе и ниже точки лежащей

Рисунок 29

на прямой (отмечена крестиком).

Для определения положения точки относительно профильной

Таким образом:

определение взаимного положения точки и прямой сво-

дится к определению взаимного положения двух точек.

§ 49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости. На рис. 93 показана плоскость Sum (axb). Прямая l принадлежит плоскости Sum, так как ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой пря-

мой, лежащей в этой плоскости. На рис. 93 прямая m || Sum, так как она параллельна прямой l, принадлежащей этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей. Построение линий пересечения прямой с плоскостью приведено в §61.

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости. На рис. 94 показан комплексный чертеж плоскости Sum, заданной двумя параллельными прямыми l и п. В плоскости расположена линия m. Точка A лежит в плоскости Sum, так как она лежит на прямой m. Точка В не принадлежит плоскости, так как ее вторая проекция не лежит на соответствующих проекциях прямой.

Взаимное расположение двух прямых примеры определения расстояния между параллельными прямыми скрещивающимися прямыми способом замены плоскостей проекций

Теорема о проекции прямого угла проведение перпендикуляра к горизонтали фронтали пример построения из заданной точки перпендикуляра к плоскости

Решение многих метрических задач требует применения перпендикулярных прямых и плоскостей и основывается на свойства прямоугольного проецирования прямого угла.

Прямой угол проецируется без искажения если обе стороны параллельны плоскости проекций. Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется с искажением на а эту плоскость проекции.

Теорему о проецировании прямого угла мы рассматривали при изучении свойств ортогонального проецирования. Напомним эту теорему.

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину. Следствие: если прямоугольная проекция угла, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, - прямой угол, то проецируемый угол также прямой.

Свойства проекций прямого угла имеют важное значение при решении метрических задач на чертеже, таких, как построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей определения расстояния между геометрическими фигурами и т.д.

Способы задания плоскости на чертеже взаимное расположение плоскостей признак параллельности двух плоскостей пример построения через заданную точку плоскости, параллельной заданной плоскости а

Различные способы задания плоскости на чертеже

Положение плоскости в пространстве определяется:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий, б) прямой и точкой, взятой вне прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 97), б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 98), в) проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 99), г) проекциями двух параллельных прямых (рис. 100).

Каждое из представленных на рис. 97- 100 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 97) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 98; от него мы можем перейти к рис. 100, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ.

Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской фигуры (треугольника, квадрата, круга и т. д.). Пусть некоторая пл. а определена точками А, В и С (рис. 101). Проведя прямые линии через одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника ABC. Точка D, взятая на прямой АВ, тем самым принадлежит пл. а; проводя прямую через точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую пл. а (например, через точку С), получаем еще одну прямую в пл. О!,

Аналогично могут быть построены прямые, а следовательно, и точки, принадлежащие плоскости, заданной любым из перечисленных выше способов.

В дальнейшем мы увидим, что плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, может быть задана прямой, по которой эти плоскости пересекаются между собой.

Проекции плоскостей частного положения (плоскостейуровня, проецирующих плоскостей) взаимное расположение плоскостей признак перпендикулярности двух плоскостей пример построения через заданную точку плоскости б, перпендикулярной заданной плоскости а

2.5.2 Ортогональный чертеж плоскости частного положения

Плоскость частного положения - плоскость проходящая через проецирующие прямые, т.е. перпендикулярная к одной или одновременно к двум основным плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна только к одной плоскости проекций, то она называется проецирующей плоскостью. Существует три вида проецирующих плоскостей: 1. Горизонтально-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П1. И поэтому проецируется на нее как прямая.

2. Фронтально-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П2. И поэтому проецируется на нее как прямая.

3. Профильно-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П3. И поэтому проецируется на нее как прямая. На обычном ортогональном чертеже, когда плоскость П3 не используется, профильно-проецирующая плоскость выглядит как плоскость общего положения.

Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то она называется плоскостью уровня. Следовательно, плоскость уровня всегда параллельна одной из плоскостей проекций. Существует три вида плоскостей уровня: 1. Горизонтальная плоскость уровня - || П1.

2. Фронтальная плоскость уровня - || П2.

3. Профильная плоскость уровня - || П3.

Adele - Someone Like You

That you"re settled down

That your dreams came true.

Guess she gave you things

I didn"t give to you

Why are you so shy?

Ain"t like you to hold back

Or hide from the light

That for me it isn"t over

I"ll find someone like you

Don"t forget me I beg

I remember you said

"Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead."

Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead,

It was the time of our lives

We were born and raised

In a summer haze

Bound by the surprise

Of our glory days

I hate to turn up out of the blue uninvited

But I couldn"t stay away, I couldn"t fight it.

I had hoped you"d see my face and that you"d be reminded

That for me it isn"t over, yeah.

I"ll find someone like you

I wish nothing but the best for you too

Don"t forget me I beg

I remember you said

"Sometimes it lasts in love

Nothing compares

No worries or cares

Regrets and mistakes

And memories made.

Who would have known

This would taste?

I"ll find someone like you

I wish nothing but the best for you too

Don"t forget me I beg

I remember you said,

"Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead"

I"ll find someone like you

I wish nothing but the best for you, too

Don"t forget me I beg

I remember you said

"Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead"

Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead

Слова песни Adele - Someone Like You