Электромагнитные волны уравнения максвелла и волновое уравнение. Волновое уравнение. Электромагнитные волны

(конспектируем курсив)

1. Ток смещения

2. Система уравнений Максвелла

3. ЭМ волны и их характеристики

4. Получение ЭМ волн – опыты Герца

5. Применение ЭМ волн

1. В реальной жизни не существует отдельно электрического и магнитного полей, есть единое электромагнитное поле.

Теория электромагнитного поля, на­чала которой заложил Фарадей, математически была заверше­на Максвеллом. Важной выдвинутой Максвеллом идеей, была мысль о симметрии во взаимо­зависимости электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (dB/dt) со­здает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (dE/dt) создает магнитное поле.

Согласно теореме о циркуля­ции вектора Н

Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. а).

В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, на­пример S и S".Обе поверх­ности имеют «равные права», однако через поверхность S течет ток I, а через поверх­ность S" нет тока. Поверхность S" «прони­зывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора D сквозь замкнутую поверхность

D dS = q

Согласно определения плотности тока имеем

Сложим левые и правые части уравнений, получим

Из уравнения видно, что кроме плотности тока проводимости j имеется еще одно слагаемое dD/dt,размерность которого равна размерности плотности тока.

Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока смещения:

J см = dD/dt.

Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полным током.

Линии полного тока являются непрерывны­ми в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.

Следует иметь в виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости толь­ко в отношении способности создавать магнитное поле.

Токи смещения существуют лишь там, где меняется со вре­менем электрическое поле. В сущности он сам является переменным электрическим полем.

Открытие Максвеллом тока смещения - чисто теоретическое открытие, причем первосте­пенной важности.

2. С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была завершена. Открытие тока смещения ( dD/dt) позволило Максвеллу создать единую теорию электриче­ских и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяс­нила все разрозненные явления электричества и магнетизма, но и предсказала ряд новых яв­лений, существование которых подтвердилось впоследствии.

В основе электромагнитной теории Максвелла лежат четыре фунда­ментальных уравнений электродинамики, называемые уравне­ниями Максвелла.

Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле.

1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным конту­ром. При этом под Е понимается не только вихревое электриче­ское поле, но и электростатическое.

2. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверх­ность всегда равен нулю.

3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) че­рез произвольную поверхность, ограниченную данным конту­ром.

4. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Н следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассмат­ривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электро­магнитное поле.

Эти уравнения говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум причинам. Во-первых, его источником яв­ляются электрические заряды, как сторонние, так и связан­ные. Во-вторых, поле Е образу­ется всегда, когда меняется во времени магнитное поле.

Эти же уравнения говорят о том, что магнитное поле В мо­жет возбуждаться либо движущимися электрическими заряда­ми (электрическими токами), либо переменными электриче­скими полями, либо тем и другим одновременно. Никаких ис­точников магнитного поля, подобных электрическим зарядам, в природе не существует, это следует из второго уравнения.

Значение уравнений Максвелла не только в том, что они выражают основные законы электро­магнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегриро­вания) могут быть найдены сами поля Е и В.

Уравнения Максвелла обладают большей общностью, они справедливы и в тех случаях, когда существуют повер­хности разрыва - поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно.

Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений элек­тромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахож­дения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Их необходимо дополнить соотношениями, эти соотношения называют материаль­ными уравнениями.

Материальные уравнения наиболее просты в случае доста­точно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, материальные уравнения имеют следующий вид:

=εε 0

=μμ 0

=γ( + ст)

Уравнения Максвелла обладают рядом свойств.

1 свойства – линейности.

Уравнения Максвелла линейны, т.к. они содержат только пер­вые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических заря­дов и токов.

Свойство линейности уравнений Максвелла не­посредственно связано с принципом суперпозиции: если два ка­ких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

2 свойство – непрерывности .

Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.

3 свойство – инвариантности.

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски инвариантны­ми. Это есть следствие принципа относительности, согласно ко­торому все инерциальные системы отсчета физически эквива­лентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвел­ла подтверждается многочисленными опытными данными.

Уравнения Максвелла являются правильными реляти­вистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.

4 свойство – симметрии.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существу­ют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

В нейтральной од­нородной непроводящей среде уравнения Мак­свелла приобретают симметричный вид.

Из уравнений Максвелла сле­дует вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно сущест­вовать самостоятельно - без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоро­стью, равной скорости с.

Выяснилось также, что ток смещения (dD/dt)играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной dB/dtи означает возможность появления электро­магнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля элек­трического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле.

За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться - электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила устано­вить все их основные свойства.

3. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году.

Гипотеза Максвелла была лишь теоретическим предположением, не имеющим экспериментального подтверждения, однако на ее основе Максвеллу удалось записать непротиворечивую систему уравнений, описывающих взаимные превращения электрического и магнитного полей, то есть систему уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла). Из теории Максвелла вытекает ряд важных выводов, одним из них явился вывод о существовании электромагнитных волн.

Электромагнитные волны поперечны – векторы перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис.).

Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью

Скорость c распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных.

4. Максвелл утверждал, что электромагнитные волны обладают свойствами отражения, преломления, дифракции и т.д. Но любая теория становится доказанной лишь после ее подтверждения на практике. Но в то время ни сам Максвелл, ни кто-либо другой еще не умели экспериментально получать электромагнитные волны. Это произошло только после 1888 года , когда Герц экспериментально открыл электромагнитные волны.

В результате экспериментов Герц создал источник электромагнитных волн, названный им "вибратором" . Вибратор состоял из двух проводящих сфер (в ряде опытов цилиндров) диаметром 10-30 см, укрепленных на концах проволочного разрезанного посредине стержня . Концы половин стержня в месте разреза оканчивались небольшими полированными шариками , образуя искровой промежуток в несколько миллиметров.

Сферы подсоединялись ко вторичной обмотке катушки Румкорфа, являвшейся источником высокого напряжения.

Из теории Максвелла известно,

1)излучать электромагнитную волну может только ускоренно движущийся заряд,

2)что энергия электромагнитной волны пропорциональна четвертой степени ее частоты.

Понятно, что ускоренно заряды движутся в колебательном контуре, поэтому проще всего их использовать для излучения электромагнитных волн. Но надо сделать так чтобы частота колебаний зарядов стала как можно выше. Из формулы Томсона для циклической частоты колебаний в контуре следует, что для повышения частоты надо уменьшать емкость и индуктивность контура .

Чтобы уменьшить емкость C надо увеличивать расстояние между пластинами (раздвигать их, делать контур открытым) и уменьшать площадь пластин. Самая маленькая емкость, которая может получиться, - просто провод.

Чтобы уменьшить индуктивность L надо уменьшать число витков. В результате этих преобразований получим просто кусок провода или открытый колебательный контур ОКК.

Суть происходящих в вибраторе явлений заключается в следующем. Индуктор Румкорфа создает на концах своей вторичной обмотки очень высокое, порядка десятков киловольт, напряжение, заряжающее сферы зарядами противоположных знаков. В определенный момент в искровом промежутке вибратора возникает электрическая искра, делающая сопротивление его воздушного промежутка столь малым, что в вибраторе возникают высокочастотные затухающие колебания, длящиеся во все время существования искры. Поскольку вибратор представляет собой открытый колебательный контур, происходит излучение электромагнитных волн.

После огромной серии трудоемких и чрезвычайно остроумно поставленных опытов с использованием простейших, так сказать, подручных средств экспериментатор достиг цели. Удалось измерить длины волн и рассчитать скорость их распространения. Были доказаны

· наличие отражения,

· преломления,

· дифракции,

• интерференции и поляризации волн.
• измерена скорость электромагнитной волны

5. Впервые электромагнитные волны были использованы через семь лет после опытов Герца. 7 мая 1895 г. преподаватель физики офицерских минных классов А. С. Попов (1859-1906) на заседании Русского физико-химического общества продемонстрировал первый в мире радиоприемник, открывший возможность практического использования электромагнитных волн для беспроволочной связи, преобразившей жизнь человечества. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц». Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Максвелла.

Электромагнитные волны сантиметрового и миллиметрового диапазонов, встречая на своем пути преграды, отражаются от них. Это явление лежит в основе радиолокации - обнаружения предметов (например, самолетов, кораблей и т. д.) на больших расстояниях и точного определения их положения. Помимо этого, методы радиолокации используются для наблюдения прохождения и образования облаков, движения метеоритов в верхних слоях атмосферы и т. д.

Для электромагнитных волн характерно явление дифракции - огибание волнами различных препятствий. Именно благодаря дифракции радиоволн возможна устойчивая радиосвязь между удаленными пунктами, разделенными между собой выпук­лостью Земли. Длинные волны (сотни и тысячи метров) применяются в фототелеграфии, короткие волны (несколько метров и меньше) применяются в телевидении для передачи изображений на небольшие расстояния (немногим больше пределов прямой видимости). Электромагнитные волны используются также в радио-геодезии для очень точного определения расстояний с помощью радиосигналов, в радиоастрономии для исследования радиоизлучения небесных тел и т. д. Полное описание применения электромагнитных волн дать практически невозможно, так как нет областей науки и техники, где бы они не использовались.

Для осуществления радио- и телевизионной связи используются электромагнитные волны с частотой от нескольких сотен тысяч герц до сотен мегагерц.

При передаче по радио речи, музыки и других звуковых сигналов применяют различные виды модуляции высокочастотных (несущих) колебаний. Суть модуляции заключается в том, что высокочастотные колебания, вырабатываемые генератором, изменяют по закону низкой частоты. В этом и заключается один из принципов радиопередачи. Другим принципом является обратный процесс - детектирование. При радиоприеме из принятого антенной приемника модулированного сигнала нужно отфильтровать звуковые низкочастотные колебания.
С помощью радиоволн осуществляется передача на расстояние не только звуковых сигналов, но и изображения предметов.

Похожая информация.

Используем формулу Стокса , согласно которой циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся на этот контур. Тогда:

Пусть S — произвольная неизменная во времени поверхность, ограниченная контуром L. Тогда система уравнений (1.2.7) перепишется так:

Поскольку контур интегрирования в полученных интегралах произволен, равенство нулю интегралов возможно только при равенстве нулю подынтегральных выражений. Тогда:

Уравнения (1.3.2) и есть уравнения Максвелла.

В большей части курса мы будем рассматривать поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону:

Для которых принята комплексная форма записи:

Где — комплексная амплитуда. При комплексной форме записи гармонических полей производная по времени заменяется умножением на .

Тогда уравнения Максвелла (1.3.2) для полей, изменяющихся по гармоническому закону, принимают вид:

Найдем решение уравнений Масквелла для простейшего случая распространения электромагнитной волны в вакууме.

В вакууме , . Поэтому для вакуума уравнения Максвелла (1.3.4) принимают вид:

Исключим Из (1.3.5). Для этого применим операцию Rot К обеим частям первого уравнения: . Теперь подставим значение из второго уравнения. В результате получим:

Используем известное соотношение векторной алгебры

Вспомним, что в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского

И учтем, что в вакууме свободных зарядов нет (т. е. ). Подставим (1.3.8) и (1.3.7) в (1.3.6). В результате получаем:

Полученное уравнение носит название Волновое уравнение . Аналогичным образом можно получить волновое уравнение относительно вектора магнитного поля .

Наиболее наглядным решением волнового уравнения является сферическая волна, распространяющаяся вокруг точечного излучателя. Чтобы получить решение для сферической волны, нужно представить оператор Лапласа в уравнении (1.3.9) в сферической системе координат, что приведет к достаточно громоздким математическим выражениям. С целью упрощения математических процедур мы рассмотрим решение волнового уравнения для плоской волны, являющейся функцией одной координаты.

Рис.1.3.1. показана схема расположения силовых линий сферической электромагнитной волны. Рисунок иллюстрирует тот факт, что на больших расстояниях от излучателя электромагнитное поле можно рассматривать как плоскую волну, распространяющуюся вдоль направления, перпендикулярного плоскости постоянной фазы, причем характеристики волны зависят только от одной координаты вдоль направления распространения. Несмотря на то, что в общем случае волна имеет сферическую симметрию, в ограниченной области, обозначенной квадратом, можно говорить о плоской волне, характеристики которой зависят только от одной координаты.

Примем во внимание, что одномерный оператор Лапласа имеет следующий вид:

И получим одномерное волновое уравнение для плоской волны:

Рис.1.3.1. Схема силовых линий напряженности электрического и магнитного полей сферической электромагнитной волны.

Любое дифференциальное уравнение приобретает физический смысл, если заданы граничные условия для его решения. Решение уравнения (1.3.11) получается в виде двух волн, распространяющихся вдоль положительного и отрицательного направлений оси z. Примем в качестве граничных условий утверждение, что в рассматриваемой среде плоская волна может распространяться только в одном направлении. Итак, мы имеем решение уравнения (1.3.11) для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси z:

Фаза волны:

Где K — волновое число (в общем случае волновой вектор).

Фиксированная ориентация вектора напряженности поля вдоль заданной координатной оси носит название Поляризации волны . Соотношение (1.3.12) задает поляризацию напряженности электрического поля вдоль оси Х .

На рис.1.3.2. показано положение плоскости постоянной фазы для двух моментов времени.

Рис.1.3.2. Движение плоскости постоянной фазы.

Для плоскости постоянной фазы (φ = const), которая движется вдоль оси z, ее производная по времени равна нулю:

В соответствии с (1.1.26) получаем:

Где - скорость движения поверхности неизменной фазы или Фазовая скорость.

Подставив (1.3.12) в (1.3.11) получим

И, сократив , получим Дисперсионное уравнение для плоской волны в свободном пространстве :

Или (1.3.16)

Разные знаки в выражении для K соответствуют волнам, распространяющимся вдоль оси Z в разных направлениях. В соответствии с (1.3.14):

В свободном пространстве , где C — скорость света.

Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что скорость света в свободном пространстве определяется диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума:

Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума – это характеристики пространства, связанные со статическими полями. Первая из них характеризует только диэлектрические свойства среды. А вторая – только магнитные свойства. Результат решения уравнений Масквелла, представленный формулой (1.3.18), связывает воедино электростатику, магнитостатику и динамический процесс распространения света.

Действительно, диэлектрическую проницаемость можно получить экспериментально путем измерения силы взаимодействия двух известных зарядов Q1 и Q2 расположенных на расстоянии R друг от друга:

(закон Кулона).

.

Магнитную проницаемость можно получить, измерив силу взаимодействия двух проводников длиной и с током и соответственно, расположенных на расстоянии R друг от друга:

(закон Био-Савара-Лапласа)

Таким образом, из статического эксперимента можно получить численное значение .

Следовательно, уравнения Максвелла позволяют выразить скорость света через характеристики, полученные с помощью статических измерений.

Уравнения Максвелла связывают воедино электрическое поле, магнитное поле и электромагнитные волны (свет). Создание концепции электромагнитного поля и формулировка уравнений, его описывающих, послужили одной из важнейших отправных точек физики XX века.

В технике СВЧ интерес представляет в основном поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону (т.е. носят синусоидальный характер).

Пользуясь комплексным методом, запишем векторы электрического и магнитного полей:

,
, (33)

где – круговая частота
.

Подставим эти выражения в I и II – е уравнения Максвелла

,
.

После дифференцирования имеем:

, (34)

. (35)

Уравнение (34) можно преобразовать к виду:

,

где
– комплексная относительная диэлектрическая проницаемость с учётом потерь в среде.

Отношение мнимой части комплексной относительной диэлектрической проницаемости к действительной представляет тангенс угла диэлектрических потерь
. Таким образом уравнения Максвелла для гармонических колебаний при отсутствии свободных зарядов
имеют вид:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

В таком виде уравнения Максвелла неудобны и их преобразуют.

Уравнения Максвелла легко сводятся к волновым уравнениям, в которые входит только один из векторов поля. Определяя
из (37) и подставляя его в (36), получаем:

раскроем левую часть используя формулу III:

Введём обозначения
,тогда с учётом
, получим:

. (40)

Такое же уравнение можно получить относительно

. (41)

Уравнения (40) – (41) получили название уранений Гельмгольца. Они описывают распространение волн в пространстве и являются доказательством того, что изменение во времени электрического и магнитного полей приводит к распространению электромагнитных волн в пространстве.

Эти уравнения справедливы для любой системы координат. При использовании прямоугольной системы координат будем иметь:

, (42)

, (43)

где
– едичничные векторы

Если подставить соотношение (42) и (43) в уравнения (40) и (41), то последние распадаются на шесть независимых уравнений:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

где
.

В общем случае в прямоугольной ситеме координат для нахождения составляющих поля необходимо решить одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка

,

где – одна из составляющих поля, т.е.
. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (46)

где
– функция распределения поля в плоскости фронта волны не зависящая от.

Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Умова-Пойнтинга

Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Впервые вопрос об энергии электромагнитного поля был рассмотрен Максвеллом, который показал, что полная энергия поля, заключённого внутри объёма , складывается из энергии электрического поля:

, (47)

и энергии магнитного поля:

. (48)

Таким образом, полная энергия электромагнитного поля равна:

. (49)

В 1874г. проф. Н. А. Умов ввел понятие о потоке энергии, а в 1880г. это понятие было применено Пойнтингом к исследованию электромагнитных волн. Процесс излучения в электродинамике принято характеризовать, определяя в каждой точке пространства вектор Умова-Пойнтинга.

Физически правильные результаты, согласующиеся как с законом сохранения энергии, так и с уравнениями Максвелла, получается в том случае, если выразить вектор Умова-Пойнтинга через мгновенные значения
и
следующим образом:

.

Возьмём первое и второе уравнения Максвелла и умножим первое на , а второе на
и сложим:

,

где .

Таким образом, уравнение (50) можно записать в виде

,

интегрируя по объему и меняя знаки, имеем:

Перейдем от интеграла по объему к интегралу по поверхности

,

или с учетом
получим:

, то
,
,

. (51)

Полученное уравнение выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле (теорему Умова-Пойнтинга.). Левая часть уравнения представляет собой скорость изменения во времени полного запаса энергии электромагнитного поля в рассмотренном объеме
. Первый член правой части есть количество тепла, выделяющегося в проводящих частях объёмаза единицу времени. Второе слагаемое представляет поток вектора Умова-Пойнтинга через поверхность, ограничивающую объем.Вектор
есть плотность потока энергии электромагнитного поля. Т.к.
, то направление вектора
можно определить по правилу векторного произведения /правилу буравчика/ (рис. 9). В системеСИ вектор
имеет размерность
.

Рисунок 9 – К определению вектора Умова-Пойнтинга

Общая форма записи волнового процесса

Определение 1

Допустим, что физическая величина $s$ распространяется в направлении $X$ со скоростью $v$. Данная величина ($s$) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна. Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под $s$ можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д. Общая форма записи волнового процесса представляется как:

где $t$ -- время, $x$ -- координата точки, которую рассматривают, $f$ - символ функции.

Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент $\left(t-\frac{x}{v}\right)$, отражает волновой процесс.

Положим, что наблюдатель перемещается по $оси X$ со скоростью $v$. Его координата может быть определена как:

Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной $x$, получим:

Из выражения (3) следует, что функция $f\left(-\frac{x_0}{v}\right)$ не зависит от времени, что означает $s$ распространяется со скоростью $v$.

Аналогично можно получить, что если процесс записан как:

то $s$ распространяется против избранной $оси X$. Если положить, что $t=0$, то из выражений (1) и (4) имеем:

Выражение (5) определяет распределение $s$ в начальный момент времени. В том случае, если $s$ напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) - задает распределение магнитного поля в пространстве при $t=0$. Получается, что вид функции $f$ зависит от начальных условий процесса.

Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль $оси X$.

Волновое уравнение

Определение 2

Функция $s$ удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак $\mp $, дважды по координате $x$:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}f^{""}\left(6\right).\]

Вторая частная производная по времени будет иметь вид:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=f^{""}\left(7\right).\]

Используя выражения (6) и (7) запишем:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2s}{\partial x^2}\left(8\right).\]

Уравнение (8) называют волновым . В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial z^2}\right)\left(9\right).\]

Замечание

В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая - либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.

Электромагнитные волны

Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике ($j_x=j_y=j_z=0$). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ зависят только от одной координаты $x$ и времени $t$. Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне. Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:

Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по $y$ и $z$ равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:

Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:

Аналогично из уравнения (11) получаем, что:

Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что $D_x$и $B_x$ - не зависят от координаты. В результате мы имеем, что $D_x=const,\ B_x=const$.

Остальные уравнения из группы (14) примут вид:

От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:

Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая - связывающая $y$-составляющую электрического поля и $z$-составляющую магнитного поля:

Вторая часть связывает $z$-компоненту электрического поля и $y$-компоненту магнитного поля:

Получается, что переменное (во времени) электрическое поле ($D_y$) порождает одну $z$-составляющую магнитного поля ($H_z$), переменное магнитное поле $B_z$ вызывает появление электрического поля направленного по $оси Y$ ($E_y$) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).

Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:

Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:

Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:

следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Пример 1

Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:

\[\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x},\ \frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial E}{\partial x}\left(1.1\right).\]

Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле $H$. С этой целью умножим первое уравнение на $\mu {\mu }_0$ и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: $D=\varepsilon_0\varepsilon E$, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:

\[{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.2\right).\]

Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по $x$, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: $B=\mu {\mu }_0H$, при этом имеем:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.3\right).\]

Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}={\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}\to \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(1.4\right).\]

Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) -- есть волновое уравнение.

Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.

Пример 2

Задание: Чему равна скорость ($v$) распространения электромагнитной волны ?

Решение:

За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(2.1\right).\]

Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед $\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}$ в волновом уравнении, следовательно:

где $c$ -- скорость распространения света в вакууме.

Ответ: $v=\frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon}}.$

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0 ):

Величины и - электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле .

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) - это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где - введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

Учитывая связь

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v - фазовая скорость света в среде :

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot , применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x , находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Иными словами и в изотропной среде,

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба - направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих - в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

Дополнительная информация

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Уравнения Максвелла. Видеолекции.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Очень кратко об уравнениях Максвелла.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К" , движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x , также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t", r". Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и - циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн .

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V << с можно пренебречь отклонением квадратного корня в знаменателях от единицы, и мы приходим к формулам, аналогичным формулам (2.85) для эффекта Доплера в звуковой волне.

Отметим существенную особенность эффекта Доплера для электромагнитной волны. Скорость движущейся системы отсчета играет здесь роль относительной скорости наблюдателя и источника. Полученные формулы автоматически удовлетворяют принципу относительности Эйнштейна, и с помощью экспериментов невозможно установить, что именно движется - источник или наблюдатель. Это связано с тем, что для электромагнитных волн отсутствует среда (эфир), которая играла бы ту же роль, что и воздух для звуковой волны.

Заметим также, что для электромагнитных волн имеет место поперечный эффект Доплера . При частота излучения изменяется:

в то время как для звуковых волн движение в направлении, ортогональном распространению волны, не приводило к сдвигу частот. Этот эффект прямо связан с релятивистским замедлением времени в движущейся системе отсчета: наблюдатель на ракете видит увеличение частоты излучения или, в общем случае, ускорение всех процессов, происходящих на Земле.

Найдем теперь фазовую скорость волны

в движущейся системе отсчета. Имеем из преобразований Лоренца для волнового вектора:

Подставим сюда соотношение:

Получаем:

Отсюда находим скорость волны в движущейся системе отсчета:

Мы обнаружили, что скорость волны в движущейся системе отсчета не изменилась и по-прежнему равна скорости света с . Отметим всё же, что, при корректных выкладках, это не могло не получиться, так как инвариантность скорости света (электромагнитных волн) в вакууме есть основной постулат теории относительности уже «заложенный» в использованные нами преобразования Лоренца для координат и времени (3.109).

Пример 1. Фотонная ракета движется со скоростью V = 0.9 с , держа курс на звезду, наблюдавшуюся с Земли в оптическом диапазоне (длина волны мкм ). Найдем длину волны излучения, которую будут наблюдать космонавты.

Длина волны обратно пропорциональна частоте колебаний. Из формулы (2.115) для эффекта Доплера в случае сближения источника света и наблюдателя находим закон преобразования длин волн:

откуда следует результат:

По рис. 2.28 определяем, что для космонавтов излучение звезды сместилось в ультрафиолетовый диапазон.

Энергия и импульс электромагнитного поля

Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей электрического и магнитного полей.