В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э. Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» (). Мы будем называть ее пси-функцией.

Пси-функция характеризует состояние микрочастицы. Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера, которое выглядит следующим образом:

Здесь - масса частицы, i - мнимая единица, - оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:

Буквой U в уравнении (21.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. В случае, когда функция U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы.

Из уравнения (21.1) следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т. е. в конечном счете характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.

Шрёдингер установил свое уравнение, исходя из оптико-механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих ход световых лучей, с уравнениями, определяющими траектории частиц в аналитической механике. В оптике ход лучей удовлетворяет принципу Ферма (см. § 115 2-го тома), в механике вид траектории удовлетворяет так называемому принципу наименьшего действия.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция V не зависит явно от времени и имеет, как уже отмечалось, смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой - только от времени:

Здесь Е - полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения (21.3), подставим его в уравнение (21.1). В результате получим соотношение

Сократив на общий множитель придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию

Уравнение (21.4) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шрёдингера. Уравнение, (21.4) часто пишут в виде

Поясним, как можно прийти к уравнению Шрёдингера. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу.

Согласно идее де-Бройля ей нужно сопоставить плоскую волну

(в квантовой механике принято показатель экспоненты брать со знаком минус). Заменив в соответствии с (18.1) и (18.2) через Е и , придем к выражению

Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по х, получим

В нерелятивистской классической механике энергия Е и импульс свободной частицы связаны соотношением

Подставив в это соотношение выражения (21.7) для Е и и сократив затем на , получим уравнение

которое совпадает с уравнением (21.1), если в последнем положить

В случае частицы, движущейся в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс связаны соотношением

Распространив и на этот случай выражения (21.7) для Е и получим

Умножив это соотношение на , перенеся член влево, придем к уравнению

совпадающему с уравнением (21.1).

Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель - пояснить, каким образом можно было прийти к установлению этого уравнения.

В квантовой механике большую роль играет понятие Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции (обозначим ее ) сопоставляется другая функция (обозначим ее ). Символически это записывается следующим образом:

Здесь - символическое обозначение оператора (с таким же успехом можно было взять любую другую букву с «шляпкой» над ней, например и т. д.). В формуле (21.2) роль Q играет роль - функция F, а роль f - правая часть формулы.

Введение

Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

Волновое уравнение Шредингера

Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде

где Н -- оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле U(r) оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы

Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов

то переход к классическому уравнению Гамильтона--Якоби для функции действия S

можно получить из (1.3) формальным преобразованием

Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования

если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при волновой функцией

описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство

указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим

Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора, получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)

где является плотностью вероятности, а вектор

можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде

где и -- действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности

а плотность тока вероятности

Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций, у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций.

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции состояние системы можно описать двумя вещественными функциями и, удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н -- вещественный, то, подставив в (1.1) функцию и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений

при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид

Волновые функции в импульсном представлении.

Фурье-образ волновой функции характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии. Требуется вывести интегральное уравнение для с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями и имеются два взаимно обратных соотношения.

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения и применить к нему операцию, то с учетом определения 3-мерной -функции,

в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь

Предполагая, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

Подставляя сюда вместо и соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем

В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной к интегрированию по переменной, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством. Интеграл по обращается в нуль при любом значении лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как, где.

Необходимо отметить, что из условия нормировки

следует равенство

Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции:

Если здесь сначала выполнить интегрирование по, то мы без труда получим соотношение (2.8).

Для частиц квантового мира действуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами и частицы, и волны – и, действительно, при рассеивании пучка электронов на отверстии наблюдается дифракция, характерная для волн.

Поэтому можно говорить не о движения квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в конкретной точке в некий момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шрёдингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Зачастую частица передвигается сквозь силовое поле, не зависящее от времени. Для этого случая записывается стационарное уравнение Шрёдингера:

В представленном уравнении m и Е – и соответственно энергия частицы, пребывающей в силовом поле, а U – этого поля. — оператор Лапласа. — постоянная Планка, равная 6,626 10 -34 Дж с.

(её также называют амплитудой вероятности, или пси-функцией) – это и есть функция, позволяющая узнать, в каком месте пространства, скорее всего, будет находиться наш микрообъект. Физический смысл имеет не сама функция, а её квадрат. Вероятность того, что частица находится в элементарном объеме :

Следовательно, найти функцию в конечном объеме можно с вероятностью:

Так как пси-функция – вероятность, то она не может быть ни меньше нуля, ни превышать единицу. Полная вероятность найти частицу в бесконечном объеме – это условие нормировки:

Для пси-функции работает принцип суперпозиции: если частица или система может находиться в ряде квантовых состояний , то для нее возможно и состояние, определяемое их суммой:

Стационарное уравнение Шрёдингера имеет множество решений, однако при решении следует учесть граничные условия и отобрать только собственные решения – те, которые обладают физическим смыслом. Такие решения существуют только для отдельных значений энергии частицы Е, которые и образуют дискретный энергетический спектр частицы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

§ 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн да Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. §215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z , t ), так как именно она, или, точнее, величина, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV , т. е. в области с координатами x и x + dx . y и y + dy . zuz + dz . Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

(217.1)

где, т - масса частицы,- оператор Лапласа,

- мнимая единица, V {х, у, z , t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z , t ) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) произ­водныедолжны быть непрерывны; 3) функциядолжна быть

интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) , или в комплексной записиСледовательно, плоская

волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, чтоВ квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус,

но поскольку физический смысл имеет только, то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

откуда

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсоми подставляя выражения

(217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U =0 (мы рассматривали свободную частицу).

Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U , то

полная энергия Е складывается из типич еской и потенциальной энергий. Проводя аналогичные

рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случаяпридем

° к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шреди-нгера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является обкщим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шреднягера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

так что

где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множительи соответствующих преобразований

придем к уравнению, определяющему функцию

(217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциямиНо регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собствев-нымн. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называют­ся собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непре-

рывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.

§ 218. Принцип причинности ■ квантовой механике

Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинно­сти - принципу классического детермизма, по известному состоянию системы в неко­торый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика ос­новывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причи­на, а ее состояние в последующий момент - следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соот­ношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в началь­ный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.

Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъ­ектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъ­екта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В кванто­вой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией (х,у, z , t ), квадрат модуля которой(х,у, z , t )\ 2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z .

В свою очередь, волновая функция(х,у, z , t ) удовлетворяет уравнению Шредин-гера (217.1), содержащему первую производную функции по времени. Это же означает, что задание функции(для момента времениt 0) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние

Есть причина, а состояниев последующий момент - следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функциипредопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшест­вующего состояния, как того требует принцип причинности.