Теплопроводность; уравнение диффузии. Общее уравнение переноса. диффузия. уравнение фика

Рассмотрим баланс нейтронов в единице объема dV при заданных Ф(r ), Ss.

Баланс нейтронов

К изменению числа нейтронов приводят поглощение, утечка, рождение. Тогда

Рождение – утечка – поглощение.

Рождение нейтронов обусловлено источником: S(r ) -число нейтронов, рождающихся в единицу времени в единице объема вблизи r . Поглощение нейтронов определяется числом реакций в единицу времени в единице объема . Нужно найти выход реакции в элементе объёма

Найдем утечку нейтронов, зная вектор плотности J из закона Фика

Если известенвектор J в каждой точке поверхности элементарного объема dV, то утечка равна divJ - число нейтронов, пересекающих поверхность единичного объема в единицу времени. Причем

div /D= const/= – D DФ

где

Таким образом, имеем уравнение

В стационарном случае

Замечания:

При выводе данных уравнений пользовались законом Фика, который справедлив, если распределение потока по координатам является линейным на расстоянии в несколько . Значит, эти уравнения плохо работают вблизи границы источника. Коэффициент D здесь уже учитывает возможную несферичность рассеяния(см. ранее).

Граничные условия:

1) поток Ф нейтронов конечен и неотрицателен в области, где применимо уравнение диффузии;

2) на границе двух сред, отличающихся хотя бы одной характеристикой взаимодействия нейтронов с ядрами.

Взаимодействие нейтронов с ядрами

В точке а :

Нормаль к поверхности;

Ток нейтронов.

Так как сама граница не поглощает нейтроны, то сколько нейтронов уходит из среды А, столько и приходит в среду В, т.е. проекции на нормаль

т. е. поток на границе неразрывен.

С другой стороны, при переходе через границу поток нейтронов должен быть непрерывной функцией координат, т.е.

Итак, имеем условия на границе

Условия на границе

3) на границе среды с вакуумом (это условие необходимо при решении задач о конечном реакторе) нет потока внутрь среды из вакуума. Это условие можно выразить, если задать функцию Ф(r, E, W). На границе имеем:

функция Ф(r, E, W).

Видно, что это граничное условие нельзя записать, зная только зависимость Ф от r . Используем следующий прием: изобразим Ф(r ) в плоском реакторе. Очевидно, поток на границе меньше, чем в центре активной зоны, но не равен 0, т.е. . Уравнение наиболее просто решается при нулевых граничных условиях.

Поток на границе

Решение уравнения диффузии особенно просто, когда на какой-либо границе поток равен 0. Будем считать, что поток образуется в 0 не на физической, а на некоторой экстраполированной границе реактора (экстраполяция линейная).

Длина экстраполяции d – величина неопределенная, но вносящая малую поправку в уравнение диффузии. Оценка d была сделана как теоретически, так и экспериментально. Оказалось, что при d = 0,71λ tr наблюдается наилучшее совпадение теории с опытом.

Рассмотрим полую трубку постоянного малого сечения, в каждом сечении которой концентрацию диффундирующего вещества можно считать постоянной. Направим ось Ох вдоль трубки, тогда концентрация вещества в трубке выражается функцией Q(x,t) и может быть описана уравнением:

где Q(x,t) – объёмная концентрация (или плотность) диффундирующего вещества, кг/м 3 ;

f(x,t) – объёмная плотность источника примеси, кг·м -3 ·с -1 .

При условии постоянства коэффициента диффузии D коэффициент а определяется из выражения:

, (2.58)

где D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

C – коэффициент пористости.

, (2.59)

где V – объем пор, внутри которых может происходить диффузия, м 3 ;

V 0 – полный объем, м 3 .

Если среда не пористая, то коэффициент С=1, а коэффициент а 2 =D.

В качестве начальных условий задается распределение плотности диффундирующего вещества вдоль рассматриваемой полой трубки в начальный момент времени:

Граничные условия могут быть заданы в следующей форме :

1) На границах полой трубки концентрация диффундирующего вещества поддерживается постоянной (в частности равной нулю) (граничные условия 1 рода):

2) Граничные плоскости трубки непроницаемы (граничные условия 2 рода):

; (2.63)

. (2.64)

3) Граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону Ньютона для конвективного теплообмена (граничные условия 3 рода):

, (2.65)

, (2.66)

где φ 1 (t), φ 2 (t) – плотность диффундирующего вещества в окружающей среде по оба конца трубки;

α – коэффициент проницаемости на концах.

Поставить краевую задачу для процесса диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты z и от времени t. Записать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке.

Функция Q(x,t), описывающая плотность взвешенных частиц в трубке определяется уравнением:

D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

ν – скорость оседания частиц, м/с.

Граничное условие сформулированному условию записывается в виде:

2.7 Уравнения линий передач

Рассмотрим кабель длиной l , находящийся под током. Кабель имеет следующие параметры, отнесенные к единице длины провода:

– активное сопротивление R, Ом/м;

– индуктивность L, Гн/м;

– емкостное сопротивление C, Ф/м;

– проводимость изоляции G, (Ом·м) -1 .

Напряжение U и ток I в каждый момент времени t в любой точке х могут быть найдены из следующих уравнений:

1) Уравнение телефона:

где Q(x,t)=U(x,t) или Q(x,t)=I(x,t).

2) Уравнение телеграфа (телеграфное уравнение) при условии пренебрежимо малых значений индуктивности и проводимости L=G=0:

. (2.68)

3) Уравнение радио (при малых значениях активного сопротивления и проводимости R=G=0):

, (2.69)

где k 2 =1/(LC).

Во всех уравнениях в качестве выходной распределенной величины могут рассматриваться как напряжение U(x,t), так и ток I(x,t).

Для уравнений телефона и радио, которые содержат вторую производную по времени t, необходимо задание начальных условий в виде самой распределенной величины в начальный момент времени вдоль всей линии, так и ее производной по времени t. Рассмотрим их расчет.

Пусть вдоль линии задано распределение напряжения и тока:

Граничные условия могут задаваться в различных вариантах. Рассмотрим самые распространенные, для одного из конца кабеля (линии), например х=l .

1) На конце включена батарея с постоянной электродвижущей силой Е, В:

2) Конец линии находится под синусоидальным напряжением с частотой ω:

3) Конец линии заземлен:

. (2.76)

4) Конец провода изолирован:

. (2.77)

5) В начале и в конце линии включены приемники с омическим сопротивлением R 0 и R l и самоиндукцией L 0 и L l :

; (2.78)

, (2.79)

где Е – электродвижущая сила батареи, В;

I 0 , I l – сила тока в начале и в конце линии, А.

6) В начале и в конце линии включены разделительные конденсаторы емкостью С 0 и С l :

; (2.80)

, (2.81)

где U l – напряжение на конце линии.

Линия передачи длиной 1000 км находится изначально в установившемся режиме с потенциалом 1200 В на передающем конце (х=0) и 1100 В на приемном конце (х=l =1000). Приемный конец линии внезапно заземляется, а на источнике сохраняется потенциал 1200 В. Сформулировать краевую задачу для потенциала в линии передач, предполагая индуктивность и проводимость изоляции пренебрежимо малыми.

Так как L=G=0, используем телеграфное уравнение вида:

где 0≤х≤ 1000.

Начальные условия (начальное установившееся напряжение) описываются уравнением вида:

,
.

Найти силу тока I(x,t) в проводе длиной l , по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует, а омическим сопротивлением и проводимостью можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при t=0) равен нулю, а начальное напряжение задается формулой:

Левый конец провода (х=0) изолирован, а правый конец (х=l ) заземлен.

Так как R=G=0 выбираем уравнение радио:

где Q(x,t)=I(x,t) – распределенная токовая величина;

L – индуктивность, приведенная к единице длины, Гн/м;

C – емкость, приведенная к единице длины, Ф/м.

Начальные условия имеют вид:

Граничные условия задаются в виде:

Описанные примеры формулировок краевых задач могут быть использованы для постановки собственных задач.

Вопросы для самопроверки.

1) Как записывается краевая задача в общем виде?

2) Что называется начальной функцией?

3) Что описывают граничные условия?

4) Как по внешнему виду определить уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

5) Какие процессы описывают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

6) Какие начальные условия записывают для уравнения гиперболического типа?

7) Как выглядят начальные условия для уравнений эллиптического типа?

8) Как записываются граничные условия для первой, второй и третьей краевых задач?

9) Что собой представляет функция Грина и стандартизирующая функция?

10) Какие выделяют типовые распределенные блоки?

11) Как рассчитывается передаточная функция паралелльно соединенных блоков?

12) Почему последовательное соединение называется некоммутативным?

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА
Рубрика (тематическая категория)	Спорт

Необходимым условием жизни является перенос веществ через биологические мембраны в клетку и из клетки. Мембраны при этом выполняют две прямо противоположные функции: барьерную, благодаря которой клетка защищается от чужеродных веществ, и транспортную, обеспечивающую всем необходимым процессы метаболизма, генерации биопотенциалов и нервных импульсов, биоэнергетики и т.д.

В физике под термином перенос понимают необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины. Следует понимать, что с места на место переходят частицы, которые и переносят свои физические характеристики: массу, импульс, энергию, заряд и т.д.

К явлениям переноса относятся диффузия – перенос массы; теплопроводность – перенос энергии; вязкость – перенос импульса частиц среды.

Наиболее существенными для жизнедеятельности биологических организмов являются процессы переноса массы и электрического заряда. В биофизике в качестве синонима термину перенос используют термин ʼʼтранспортʼʼ. Выведем, исходя из представлений молекулярно-кинетической теории, общее уравнение переноса. Прежде всего, с этой целью определим количество молекул, переходящих за промежуток времени Δt через некоторую воображаемую площадку ΔS, помещённую в вещество. Направим ось OX перпендикулярно ΔS (рис.5). Т.к. движение частиц среды хаотично, то условно можно считать, что вдоль каждой из пространственных осей движется треть от общего числа частиц. Причём, половина от этой трети (ᴛ.ᴇ. 1/6) движется вдоль OX слева направо, а вторая половина – справа налево. Тогда, в одну сторону через площадку ΔS за 1 секунду пройдёт 1/6 всех частиц, находящихся в объёме прямоугольного параллелепипеда с основанием ΔS и высотой, равной средней скорости движения частиц среды: , где n – число частиц в единице объёма. За время Δt число частиц прошедших в данном направлении:

. (1)

Будем помнить, что каждая частица при этом перенесёт через площадку свои физические характеристики: массу, заряд, импульс, энергию и т. д. Тогда количество любой физической характеристики φ, перенесённое всеми частицами в направлении нормали через площадку ΔS за время :

. (2)

Понятно, в случае если среда однородна, то количество частиц движущихся “слева направо” и “справа налево” будет одинаковым, и результирующего переноса физических величин не будет.

Предположим, что рассматриваемая среда неоднородна по своим физическим свойствам. Это означает, что значения одной и той же характеристики φ в разных точках пространства разные. В этом случае количество физической величины перешедшей ʼʼслева направоʼʼ и ʼʼсправа налевоʼʼ не будет одинаковым. Оценим результирующий перенос величины через площадку ΔS.

Пусть значение убывает в положительном направлении OX, будучи равным 1 слева от площадки ΔS и 2 – справа от неё (рис.6). Результирующий перенос величины (φN) через площадку ΔS за время Δt слева направо, равен:

Теперь остаётся только узнать на каком расстоянии от ΔS следует взять значения φn 1 и φn 2 . Обмен значениями величины φ и изменение концентрации n происходит только при взаимодействиях молекул. Это означает, что значение сохраняется неизменным на расстоянии равным длине свободного пробега – λ слева и справа от площадки. На этих расстояниях от ΔS и будем брать значения (φn) для подстановки в формулу (3). Умножив и разделив правую часть (3) на 2λ, получим:

Величину

(5)

называют градиентом величины (φn). 2λ = Δx – расстояние на котором величина (φn) изменяется от значения (φn) 1 до (φn) 2 . Окончательно для результирующего переноса имеем:

. (6)

Знак минус обусловлен тем, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном градиенту величины (φn). Grad(φn) направлен справа налево, а перенос (φn) – слева направо (рис.3). Выражение (6) является общим уравнением переноса.

Рассмотрим на его основании явление диффузии, ᴛ.ᴇ. перенос массы. Переносимой величиной будет масса молекулы, ᴛ.ᴇ. φ = m. Тогда, m·n = ρ. Подставляя в уравнение (6) вместо φ – m, получим

, (7)

где ΔM – масса газа, переносимая путём диффузии за Δt через площадку ΔS, перпендикулярную направлению убывания плотности. Обозначив , получим уравнение диффузии (закон Фика) в виде:

, (8)

где константа D – коэффициент диффузии, размерность которого (м 2 /с).

Количество вещества, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ переносится через всё поперечное сечение ΔS за единицу времени, принято называть потоком вещества:

. (9)

Уравнение Фика должна быть записано также через плотность потока вещества (интенсивность переноса) – величину, под которой понимают массу вещества, перенесённую через единицу площади поперечного сечения потока за единицу времени:

. (10)

Явления переноса изучают как на живых клетках, так и на разного рода моделях. Перенос вещества может происходить без затраты энергии (пассивный транспорт) и за счёт энергии АТФ (активный транспорт).

4. ТРАНСПОРТ ВЕЩЕСТВ ЧЕРЕЗ БИОЛОГИЧЕСКИЕ МЕМБРАНЫ.

4.1 ПАССИВНЫЙ ПЕРЕНОС. РАЗНОВИДНОСТИ ПАССИВНОГО ТРАНСПОРТА МОЛЕКУД И ИОНОВ ЧЕРЕЗ МЕМБРАНУ.

Важным элементом функционирования биологических мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы, атомы и ионы. Эта способность принято называть проницаемостью. Проблема мембранной проницаемости включает в себя вопрос кинетики поступления частиц в клетку и из клетки, а также механизм распределения вещества между клеткой и межклеточной средой. Изучение проницаемости биомембран имеет большое значение для медицины и, особенно, для фармакологии и токсикологии. Для лечения крайне важно знать проникающую способность фармакологических средств и ядов через мембрану в норме и при патологии.

Перенос вещества через мембрану является сложным процессом и может осуществляться многими способами. Учитывая зависимость оттого, что является движущей силой перемещения молекул, все виды переноса можно разделить на пассивные и активные. Пассивный транспорт вещества осуществляется за счёт энергии, сконцентрированной в каком-либо градиенте и не связан с затратой химической энергии гидролиза АТФ. Наиболее значимыми для биологических систем являются градиенты концентрации – dc/dx, электрического потен-циала – dφ/dx и гидростатического давления – dр/dx.

Выделяют следующие виды пассивного переноса через биологические мембраны: простая диффузия, диффузия через поры, облегченная диффузия, осмос и фильтрация :

а) Простая диффузия - ϶ᴛᴏ самопроизвольное перемещение вещества из мест с большей концентрацией в места с меньшей концентрацией вследствие хаотического теплового движения частиц. Рассмотрим в качестве примера диффузию незаряженных частиц определённого вида через биологическую мембрану толщиной l . Запишем уравнение Фика через концентрацию вещества данного вида в растворе. Не трудно видеть, что для раствора масса растворённого вещества в единице объёма и есть его массовая концентрация (кг/м 3). Теперь плотность потока вещества через поверхность мембраны в направлении нормали к ней, в соответ-ствии с (10), запишется:

, (11)

где D – коэффициент диффузии, Δc/Δx – градиент массовой концентрации вдоль направления переноса. Будем считать, что концентрация частиц, диффундирующих через мембрану, изменяется в мембране по линейному закону от значения с i ,м внутри клетки, до значения с о,м в межклеточной среде (рис.7). Тогда градиент концентрации можно выразить соотношением:

. (12)

Измерить концентрации с о,м и с i ,м в приграничных слоях мембраны практически невозможно. По этой причине воспользуемся соотношением:

, (13)

где с о и с i – концентрации данного вещества в межклеточной жидкости и цитоплазме соответственно. Откуда, с учётом того, что с i ,м = k с i , a с о,м = k с о, получим:

. (14)

С учётом (14) уравнение диффузии частиц через мембрану примет вид:

–уравнение Коллендера. (15)

Величина Р = Dk / l принято называть коэффициентом проницаемости . В живой клетке такая диффузия обеспечивает прохождение кислорода и углекислого газа, а также ряда лекарственных веществ и ядов.

б) Диффузия может проходить через липидные и белковые поры или каналы , которые образуют в мембране проход (рис.8). Такой механизм проникновения сквозь мембрану характерен для молекул нерастворимых в липидах веществ и водорастворимых гидратированных ионов (сахар, спирт). Этот вид переноса допускает проникновение через мембрану не только малых молекул, к примеру, молекул воды, но и более крупных частиц. Значение проницаемости при этом определяется размерами молекул: с ростом размеров проницаемость молекул уменьшается.

Диффузия через поры также описывается уравнением Фика. При этом, наличие пор увеличивает коэффициент проницаемости Р. Каналы могут проявлять селективность или избирательность по отношению к разным ионам, это проявляется в разной величине проницаемостях для разных ионов.

в) Облегченная диффузия происходит при участии молекул-переносчиков . Было обнаружено, что скорость проникновения в клетку глюкозы, глицерина, аминокислот не имеет линейной зависимости от разности концентраций. Для определенных концентраций скорость проникновения вещества через мембрану намного больше, чем следует ожидать для простой диффузии. При увеличении разности концентраций скорость диффузии возрастает в меньшей степени, чем это следует из уравнения Коллендера (15). В данном случае наблюдается облегченная диффузия.

Её механизм состоит в том, что вещество A, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ самостоятельно плохо проникает через мембрану, может образовать комплекс с молекулами X вспомогательного вещества (рис.9), ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ растворено в липидах. У поверхности мембраны молекулы А образуют комплекс AX, который способен растворяться в липидах. Оказавшись в результате диффузии по другую сторону мембраны, некоторые из комплексов отщеплют молекулы A. Молекула X возвращается к наружной поверхности мембраны и может образовать новой комплекс с молекулой А. Разумеется транспорт вещества А таким способом происходит в одну и другую сторону. По этой причине результирующий перенос возникнет только при условии, что концентрация А по одну и другую стороны мембраны разная. Таким способом, к примеру, антибиотик валиномицин переносит через мембраны ионы калия. Соединения, обладающие способностью избирательно увеличивать скорость переноса ионов через мембрану получили название ионофоров .

В случае если концентрация молекул А в среде такова, что все молекулы вещества-переносчика задействованы, то дальнейшее повышении концентрации вещества А не будет больше вызывать рост скорости диффузии. Это означает, что облегчённая диффузия обладает свойст-

вом насыщения.

При облегчённой диффузии наблюдается конкуренция переносимых веществ в тех случаях, когда переносчиком выступает одно и тоже соединение. К примеру, глюкоза переносится лучше, чем фруктоза; фруктоза лучше, чем ксилоза; ксилоза, лучше, чем арабиноза и т.д.

Известны также соединения, способные избирательно блокировать облегчённую диффузию ионов через мембрану. Οʜᴎ образуют прочные комплексы с молекулами переносчиками. К примеру яд рыбы фугу тетродотоксин блокирует транспорт натрия, флоридзин подавляет транспорт сахаров и т.д.

Разновидностью облегчённой диффузии является транспорт с помощью неподвижных переносчиков. Молекулы X образуют фиксированные цепочки поперек мембраны, к примеру, выстилают изнутри пору (рис.10). Молекулы переносимого вещества А передаются от одной молекулы переносчика к другой, как по эстафете. При этом предполагается, что пространство в поре недостаточно велико для прохождения через нее частиц А, в случае если только они не способны к специфическому взаимодействию с переносчиком Х.

Диффузия является основным видом пассивного транспорта веществ через мембрану клетки. Все остальные виды пассивного переноса связаны в основном с транспортом воды.

в) Осмос – диффузия растворителя через полупроницаемую мембрану, разделяющую два раствора с разной концентрацией . Сила, которая вызывает это движение растворителя, принято называть осмотическим давлением. Оно возникает вследствие теплового движения молекул воды и растворённого вещества. Некоторые молекулы воды, векторы скорости которых параллельны каналам мембраны, проникают через неё. В то же время для растворённого вещества А мембрана непроницаема. По этой причине поток воды из раствора, где концентрация А ниже будет больше (в данном растворе выше концентрация воды). Процесс приводит к возрастанию гидростатического (водяного) давления в растворе с большей концентрацией А. Это избыточное давление вызывает фильтрацию воды в обратном направлении. В некоторый момент наступает состояние динамического равновесия. Давление соответствующее этому состоянию принято называть осмотическим давлением. Величина осмотического давления определяется уравнением Ван-Гоффа:

р = i·c·R·T, (16)

где с – концентрация растворённого вещества; Т – термодинамическая температура; R – газовая постоянная; i – изотонический коэффициент, показывает во сколько раз возросло число частиц в растворе из-за диссоциации молекул. Скорость осмотического переноса воды через мембрану определяется соотношением:

, (17)

где Р о – коэффициент проницаемости, S – площадь мембраны, (р 1 – р 2) – разность осмотических давлений по одну и другую стороны мембраны.

г) Фильтрацией принято называть движение жидкости через поры в мембране под действием градиента гидростатического давления . Объёмная скорость переноса жидкости при этом подчиняется закону Пуазейля:

где r – радиус поры; l – длина канальца поры; (р 1 -р 2) – разность давлений на концах канальца; η – коэффициент вязкости переносимой жидкости; – модуль градиента давления вдоль поры; – гидравлическое сопротивление. Это явление наблюдается при переносе воды через стенки кровеносных сосудов (капилляров). Явление филь-трации играет важную роль во многих физиологических процессах. Так, к примеру, образование первичной мочи в почечных нефронах происходит в результате фильтрации плазмы крови под действием давления крови. При некоторых патологиях фильтрация усиливается, что приводит к отёкам.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА" 2017, 2018.

Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на примере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скажем в металле. Рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заранее, а теперь тело остывает. Источников тепла нет, так что количество тепла сохраняется. Сколько же тогда тепла должно оказаться внутри некоего определенного объема в какой-то момент времени? Оно должно уменьшаться как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем — маленький кубик, то, следуя формуле (3.17), можно написать

Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если q — количество тепла в единице объема, то весь запас тепла в кубе qΔ V , а скорость потерь равна

Сравнивая (3.19) с (3.20), мы видим, что

Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохранения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (3.13) тот же физический факт был выражен иначе. Там была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у нас — дифференциальная форма.

Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для большого объема V , ограниченного поверхностью S , закон Гаусса утверждает, что

Интеграл в правой части можно, используя (3.21), преобразовать как раз к виду —dQ/dt , и тогда получится формула (3.13).

Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены проволочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, a W представляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кроме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде больше не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла h в разных точках металла? Сколько тепла перетекает через каждую точку?

Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую h по замкнутой поверхности, окружающей источник, то всегда получится W . Все тепло, которое генерируется в точечном источнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после интегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы W . Но мы сравнительно легко можем найти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем сферу радиусом R с центром в источнике и предположим, что поток тепла радиален (фиг. 3.6). Интуиция нам подсказывает, что h должен быть направлен по радиусу, если блок вещества велик и мы не приближаемся слишком близко к его границам; кроме того, величина h во всех точках сферы должна быть одинакова. Вы видите, что для получения ответа к нашим выкладкам мы вынуждены добавить известное количество домыслов (обычно это именуют «физической интуицией»).

Когда h радиально и сферически симметрично, интеграл от нормальной компоненты h по площади поверхности вычисляется очень просто, потому что нормальная компонента в точности равна h и постоянна. Площадь, по которой интегрируется, равна 4πR 2 . Тогда мы получаем

где h — абсолютная величина h. Этот интеграл должен быть равен W — скорости, с которой источник генерирует тепло. Получается

где, как всегда, е r обозначает единичный вектор в радиальном направлении. Этот результат говорит нам, что h пропорционален W и меняется обратно квадрату расстояния от источника.

Только что полученный результат применим к потоку тепла вблизи точечного источника тепла. Теперь попытаемся найти уравнения, которые справедливы для теплового потока самого общего вида (придерживаясь единственного условия, что количество тепла должно сохраняться). Нас будет интересовать только то, что происходит в местах вне каких-либо источников или поглотителей тепла.

Дифференциальное уравнение распространения тепла было получено в гл. 2. В соответствии с уравнением (2.44),

(Помните, что это соотношение приближенное, но для некоторых веществ вроде металлов выдерживается неплохо.) Применимо оно, конечно, только в тех частях тела, где нет ни выделения, ни поглощения тепла. Выше мы вывели другое соотношение (3.21), которое выполняется тогда, когда количество тепла сохраняется. Если мы это уравнение скомбинируем с (3.25), то получим

если x — величина постоянная. Напоминаю, что q — это количество тепла в единичном объеме, a v·v = v 2 — лапласиан, т. е. оператор

Если мы теперь сделаем еще одно допущение, сразу возникнет одно очень интересное уравнение. Допустим, что температура материала пропорциональна содержанию тепла в единице объема, т. е. что у материала есть определенная удельная теплоемкость. Когда это допущение верно (а так бывает часто), мы можем писать

Скорость изменения количества тепла пропорциональна скорости изменения, температуры. Коэффициент пропорциональности c v здесь — удельная теплоемкость на единицу объема материала. Подставляя (3.27) в (3.26), получаем

Мы обнаружили, что быстрота изменения со временем температуры Т в каждой точке пропорциональна лапласиану от Т, т. е. вторым производным от пространственного распределения температур. Мы имеем дифференциальное уравнение — в переменных х, у, z и t — для температуры Т.

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

где D — постоянная. Она равна x/c v .

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающее диффузию в самом общем виде. Немного позже мы займемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.

Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на примере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скажем в металле. Рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заранее, а теперь тело остывает. Источников тепла нет, так что количество тепла сохраняется. Сколько же тогда тепла должно оказаться внутри некоего определенного объема в какой-то момент времени? Оно должно уменьшаться как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем - маленький кубик, то, следуя формуле (3.17), можно написать

Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если - количество тепла в единице объема, то весь запас тепла в кубе , а скорость потерь равна

(3.20)

Сравнивая (3.19) с (3.20), мы видим, что

(3.21)

Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохранения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (3.13) тот же физический факт был выражен иначе. Там была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у нас - дифференциальная форма.

Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для большого объема , ограниченного поверхностью , закон Гаусса утверждает, что

(3.22)

Интеграл в правой части можно, используя (3.21), преобразовать как раз к виду , и тогда получится формула (3.13).

Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены проволочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, a представляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кроме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде больше не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла в разных точках металла? Сколько тепла перетекает через каждую точку?

Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую по замкнутой поверхности, окружающей источник, то всегда получится . Все тепло, которое генерируется в точечном источнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после интегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы . Но мы сравнительно легко можем найти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем сферу радиусом с центром в источнике и предположим, что поток тепла радиален (фиг. 3.6). Интуиция нам подсказывает, что должен быть направлен по радиусу, если блок вещества велик и мы не приближаемся слишком близко к его границам; кроме того, величина во всех точках сферы должна быть одинакова. Вы видите, что для получения ответа к нашим выкладкам мы вынуждены добавить известное количество домыслов (обычно это именуют «физической интуицией»).

Фигура 3.6. В области близ точечного источника поток тепла направлен по радиусу наружу.

Когда радиально и сферически симметрично, интеграл от нормальной компоненты по площади поверхности вычисляется очень просто, потому что нормальная компонента в точности равна и постоянна. Площадь, по которой интегрируется, равна . Тогда мы получаем

, (3.23)

где - абсолютная величина . Этот интеграл должен быть равен - скорости, с которой источник генерирует тепло. Получается

где, как всегда, обозначает единичный вектор в радиальном направлении. Этот результат говорит нам, что пропорционален и меняется обратно квадрату расстояния от источника.

Дифференциальное уравнение распространения тепла было получено в гл. 2. В соответствии с уравнением (2.44),

если - величина постоянная. Напоминаю, что - это количество тепла в единичном объеме, a - лапласиан, т. е. оператор

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

где - постоянная. Она равна .

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающего диффузию в самом общем виде. Немного позже мы займемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.

2.7 Уравнения линий передач

Выбор редакции