Лента с бесконечной поверхностью изобретатели. Лента мебиуса - удивительное открытие. Открытие Августа Мебиуса

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку.

Лента Мебиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.

Что это такое?

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, - это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Кто и когда ее открыл?

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно - в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю - другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер - 6, а вот кольцо из бумаги - 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти - замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 180 0 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 180 0 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году в Бразилии Лента (лист) Мёбиуса состоялся международный математический конгресс, где его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво, на которой была изображена лента

Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка –

своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду

Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета и удивительной ленте, названной в честь математика. Лента Мёбиуса и является объектом моего исследования.

Для проведения экспериментов потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. В каждом эксперименте будут необходимы два бумажных кольца – одно простое (обычное) и одно перекрученное (лента Мебиуса).

Обычное кольцо Лента Мебиуса

Моделирование объекта исследования:

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180(). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть особое название - "Лист Мёбиуса".

Историческая справка (Август Фердинанд Мёбиус)

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август

Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально Август Фердинанд Мёбиус астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием.

В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист

6. История создания ленты Мёбиуса

Как-то незаметно для окружающих в 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

7. Наука топология

Лист Мёбиуса – топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.

Сама топология началась именно с листа Мёбиуса. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – “взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют “геометрией непрерывности”. Она известна и под именем “резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.

Тополо́гия (от греч. τόπος - место) - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Топологией также называется конкретный объект, изучаемый общей топологией: совокупность всех открытых множеств топологического пространства. Топология объекта - его геометрическая структура (то, что не меняется при непрерывных деформациях)

Итак, займемся топологией.

8. Изучение свойств ленты Мебиуса

8. 1. Описание экспериментов.

I опыт: Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придем снова в отмеченную точку.

II опыт: Закрасим полностью только одну сторону колец. Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками.

Попробуем раскрасить ленту Мебиуса. «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»

III опыт: Закрасим непрерывной линией только один край колец. Закрасим узенькую полоску края ленты.

IV опыт: На внутренней поверхности стоит Х, а по внешней идет в любую сторону Y. На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешим им бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.

V опыт: Разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

VI опыт: Разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

VII опыт: Разрежем результат I опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль.

VIII опыт: Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, не сминая бумаги.

IX опыт: Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, складывая бумагу.

X опыт: Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием.

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4.

Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно и обратное утверждение: "гениально, как все простое".

8. 2. Проведение экспериментов.

Результаты моих экспериментов с бумагой и экспериментальных исследований свойств ленты Мебиуса представлены в Таблице 1.

Таблица 1

I Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку

Обычное кольцо Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона остается чистой

Лента Мебиуса Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке

II Закрась полностью только одну сторону колец

Обычное кольцо Одна сторона закрашена, другая – нет

Лента Мебиуса Лента закрашена целиком

III Закрась непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо Один край кольца закрашен, второй край нет

Лента Мебиуса Линия края получилась непрерывно закрашена на всем кольце

IV На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идет в любую сторону некто Y

Обычное кольцо Х и Y никогда не встретятся, не пересекая края

Лента Мебиуса Х и Y встретятся, не пересекая края в любом случае

V Разрежь кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям

Обычное кольцо Получилось два кольца, уже чем исходное, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого

Лента Мебиуса Получилось одно кольцо в виде восьмёрки

V. A Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте V кольцах необходимо провести непрерывную линию

Лента Мебиуса Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца. (Получилась не лента Мебиуса)

VI Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца

Обычное кольцо Получилось 2 кольца одно уже, другое шире

Лента Мебиуса Получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое

VI. A Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте VI кольцах необходимо провести непрерывную линию

Обычное кольцо Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца

Лента Мебиуса Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (не лента Мебиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон(лента Мебиуса)

VII Разрежь результат V опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль

Обычное кольцо Получаются отдельные кольца все уже и уже

Лента Мебиуса Получилось два большие кольца переплетенные между собой в виде восьмерки

VIII Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны не сминая бумаги

Лента Мебиуса Невозможно осуществить на практике, не сминая бумаги

IX Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны складывая бумагу

Обычное кольцо Получится «труба»

Лента Мебиуса Получим ленту Мебиуса

X Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием

9. Основные свойства ленты Мебиуса

Основными свойствами ленты Мебиуса являются:

– односторонность,

– непрерывность,

– связность,

– ориентированность

– “хроматический номер”

Односторонность

Свойства ленты Мёбиуса хорошо известны: 1) она имеет одну поверхность, 2)

однако в каждом поперечном сечении эта поверхность имеет "внешнюю" и

"внутреннюю" стороны, которые по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Непрерывность

Тополог может как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.

Связность

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Ориентированность.

Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение “от противного”. Это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём.

Хроматический номер

И, наконец, то, что носит название “хроматический номер”. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

Все это сложно для понимания, но в замечательной книге Сергея Боброва «Волшебный двурог» или Правдивая история о небывалых приключениях в неведомой стране, где правят Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие, и которую читатель должен читать не торопясь можно прочитать обо всех этих удивительных вещах в доступной для детского понимания форме.

10. Экспериментальные выводы

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

▪ Лента Мебиуса имеет 1 край

▪ Лента Мебиуса имеет одну поверхность.

▪ Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.

▪ Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины (например, в 10 раз – 30 × 3 см).

▪ Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мебиуса.

▪ Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.

▪ Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.

▪ Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.

▪ Если пустить по поверхности ленты Мебиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.

▪ В результате исследования обнаружилось, что существуют еще более «странные» геометрические объекты (например, бутылка Клейна), которые не поддаются моему десятилетнему разумению, (но очень интересно!).

Бутылка Клейна

▪ В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор.

▪ В результате исследования обнаружилось, что тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т. д.)

▪ В результате исследования обнаружилось, что существуют и технические применения ленты Мебиуса.

11. Использование ленты Мебиуса

11. 1. Применение в технике

Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера - энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.

Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство.

Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную. Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами.

Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

11. 2. Использование идеи в творчестве

Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А. Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.

12. Выводы и результаты

В ходе данного проекта-исследования мною была почитана и переработана большая разнообразная информация: литература, например замечательная книга, которую моему папе подарили его родители в день его рождения – «Волшебный двурог» Сергея Боброва, посвященная объекту моего исследования, различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводил сравнение различных источников и анализировал прочитанное. Мною была создана база данных, в которую включены отрывки текстов по проблеме исследования, иллюстративные материалы. Я познакомился с историей создания ленты Мёбиуса. В ходе проведенного экспериментального исследования мною самостоятельно выявлены свойства ленты Мёбиуса. Установлены области ее применения.

На основании моих экспериментальных данных я создал небольшие Flash ролики и разработал электронную версию проекта-исследования – презентацию в Microsoft Power Point с использованием наглядных материалов, созданных в ходе работы (фото и видео).

13. Вместо заключения

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

Мы обратили внимание на то, что в нашем блоге достаточное количество вопросов посвящено теме маркировки упаковки в части указания сведений о возможности утилизации. В техническом регламенте Таможенного союза «О безопасности упаковки» для этих целей используется петля Мебиуса. При этом в самом документе не приводится подробных указаний о том, что собой представляет такой символ. Именно поэтому мы решили немного подробнее познакомиться с петлей Мебиуса.

Для понимания сути петли Мебиуса обратимся за толкованием к мировой практике.

Согласно международным нормам, символ петли (ленты) Мебиуса используется только в случаях подтверждения соответствия экологическим требованиям. Такой знак относится к экологической маркировке. Знак может применяться только в качестве информирования о том, что материал (или его часть) продукции является повторно переработанным или, наоборот, применяемые материалы могут быть вторично использованы после утилизации. Нанесение петли Мебиуса без соответствующих доказательств по международным нормам недопустимо.

Для справки: петля Мебиуса относится к символам экологической маркировки по типу II. Этот тип не требует получения отдельных документов о соответствии заданным нормам безопасности, ответственность за соблюдение требований ложится на самого производителя.

Общепринятым изображением петли Мебиуса является «широкий» вариант символа, который регламентирован формой к знаку № 1135 ИСО 7000. Именно такое исполнение применяется для информирования о переработки продукции.

Также символическое изображение петли Мебиуса получило распространение и применяется для обозначения вида полимера. При этом в петле Мебиуса проставляется цифровое и буквенное обозначение пластика, которого насчитывается шесть основных разновидностей:

Возможно, в будущем узкие стрелки в виде петли Мебиуса при маркировке полимерных материалов могут быть заменены равносторонним треугольником. С такой инициативой выступил Международный комитет по полимерам американского общества по испытанию материалов (ASTM). За основу предложения принят тот факт, что использование стрелок в виде ленты Мебиуса применяется, прежде всего, в контексте вторичной переработки, и ставит на второй план основную цель данной системы маркировки - отображение состава продукции.

Остановимся немного подробнее на самих требованиях к маркировке петлей Мебиуса: обратимся к тексту российского стандарта ГОСТ Р ИСО 14021-2000 «Этикетки и декларации экологические. Самодекларируемые экологические заявления (Экологическая маркировка по типу II)».

В подпункте 5.10.1 о специальных знаках приведены основные положения о петле Мебиуса. Исходя из текста стандарта, следует, что такой символ должен быть использован только для заявлений о рециклированном или рециклируемом содержимом.

Для справки: в случае рециклированного содержания речь идет о доле уже переработанного материала в продукции; рециклируемое содержание говорит о возможности дальнейшей переработки. В первом случае обязательно указывается массовая доля материала, который был переработан. Для рециклируемого содержимого петля Мебиуса наносится без дополнительных цифровых изображений.

В заключении хочется отметить практический опыт нанесения петли Мебиуса: в российской системе у производителей/продавцов нет единого подхода к маркировке знаком об утилизации. В обращение поступают товары с различными интерпретациями петли Мебиуса. Такое разнообразие связано с тем, что в нашем законодательстве нет единого документа, в котором были бы четко прописаны правила применения петли Мебиуса.

Практически все знают, как выглядит символ бесконечности, напоминающий перевернутую восьмерку. Этот знак называют еще «лемниската», что с древнегреческого означает лента. Представьте себе, что символ бесконечности очень похож на реально существующую математическую фигуру. Знакомьтесь, Лента Мебиуса!

Что такое Лента Мебиуса?

Лента Мебиуса (или ее еще называют петля Мебиуса, лист Мебиуса и даже кольцо Мебиуса) - одна из наиболее известных в математике поверхностей. Петля Мебиуса - это петля с одной поверхностью и одним краем.

Чтобы понять, о чем идет речь, и как такое может быть, возьмите лист бумаги , вырежьте полоску прямоугольной формы и в момент соединения ее концов перекрутите на 180 градусов один из них, после чего соедините. Разобраться в том, как сделать ленту Мебиуса поможет картинка ниже.

Что же такого примечательного в ленте Мебиуса?

Лента Мебиуса - пример неориентируемой односторонней поверхности с одним краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве. Большинство предметов являются ориентируемыми, имеющими две стороны, например, лист бумаги.

Как тогда лента Мёбиуса может быть неориентируемой, односторонней поверхностью - скажете вы, ведь бумага, из которой она сделана имеет две стороны. А вы попробуйте взять маркер и заполнить цветом одну из сторон ленты, в конечном итоге вы упретесь в начальную позицию, причем вся лента окажется целиком закрашенной, что подтверждает наличие у нее всего одной стороны.

Чтобы поверить в то, что у петли Мебиуса всего один край - проведите пальцем по одному из граней ленты не прерываясь, и Вы точно так же, как и в случае с раскрашиванием, упретесь в точку, с которой начали движение. Удивительно, не правда ли?

Изучением ленты Мёбиуса и множества других интересных объектов занимается - топология , раздел математики, который исследует неизменные свойства объекта при его непрерывной деформации - растяжении, сжатии, изгибе, без нарушения целостности.

Открытие Августа Мебиуса

«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус , ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году.

Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса - талантливый математик Иоганн Листинг , придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.

Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса.

На самом деле , лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.

«Магия» ленты Мебиуса

Несмотря на кажущееся наличие у листа Мебиуса двух сторон, на самом деле сторона всего одна, и раскрасить в два цвета ленту не получится.
Если ручкой или карандашом начертить по всей длине петли линию, не отрывая руку от листа, то грифель в конечном итоге остановится в точке, с которой Вы начали чертить линию;
Примечательные опыты получаются при разрезании ленты, способные удивить, как взрослого, так и ребенка в особенности.

Для начала склеим ленту Мебиуса, как было рассказано ранее. Затем разрежем ее вдоль по всей длине ровно посередине, как показано ниже:

Вас порядком удивит результат, ведь вопреки ожиданиям в руках останется не два отрезка ленты, и даже не два отдельных круга, но другая, еще более длинная лента. Это уже будет не лента Мебиуса, перекрученная на 180 градусов, а лента с поворотом на 360 градусов.

Теперь проведем другой эксперимент - сделаем еще одну петлю Мебиуса, после чего отмерим 1/3 ширины ленты и отрежем по этой линии. Результат поразит вас еще больше - в руках останутся две отдельные ленты разных размеров, соединенные вместе, как в цепочке: одна маленькая лента, и более длинная вторая.

У меньшей ленты Мёбиуса будет 1/3 от изначальной ширины ленты, длина L и поворот на 180 градусов. У второй более длинной ленты будет также ширина 1/3 от начальной, но длина 2L, а поворот на 360 градусов.

Можно и дальше продолжать эксперимент, разрезая получившиеся ленты на еще более узкие, результат увидите сами.

Зачем нужна петля Мебиуса? Применение

Лента Мебиуса - вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно исполбьзуется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке.

Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.

Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса.

Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса - способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех.

Лента Мебиуса - широкое поле для Вдохновения

Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников.

Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.

Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа.

По произведению «Лента Мёбиуса» писателя фантаста Армина Дейча снят не один фильм. В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм.

Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру.

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хро-мосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса . В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет - сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса.

Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная - это огромная петля Мебиуса . Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение.

Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса.

Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Как -то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Лист Мёбиуса - это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Топология (от греч. το?πος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изготовление ленты Мёбиуса.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая - нет.

3 опыт.

Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.

4 опыт:

Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).

5 опыт:

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое - другое большое.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных - муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Просмотр содержимого документа
«КОНКУРС ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ ШКОЛЬНИКОВ»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НОВОЦУРУХАЙТУЙСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

ПРИАРГУНСКОГО РАЙОНА

ЗАБАЙКАЛЬСКОГО КРАЯ

Исследовательская работа на тему:

«Лента Мёбиуса»

Выполнила: ученица 8 «А» класса

МОУ Новоцурухайтуйской СОШ

Симонова Анна Сергеевна

Руководитель: учитель математики

и информатики

Коктышева Юлия Георгиевна

Новоцурухайтуй, 2012 г.

Введение ………………………………………………………………………

История создания листа Мёбиуса…………………………………………

Изучение свойств ленты Мёбиуса…………………………………………

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни…………………………….

Заключение…………………………………………………………………….

Список Литературы………………………………………………………………..

Приложения………………………………………………………………………..

Введение

Актуальность исследования. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены. Его ценность состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета (см. Приложение 1). Актуальность данной тематики предопределило выбор темы научного исследования.

Цель исследования: исследование поверхности ленты Мебиуса.

Гипотеза: если мыисследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её практическое применение

Объект исследования : лента Мебиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Задачи:

познакомиться с историей появления ленты Мебиуса;

выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса;

установить области применения ленты Мебиуса.

Методы исследования : анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

История создания листа Мёбиуса

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

В 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили.

Как –то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Лист Мёбиуса – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Топология (от греч. τόπος - место) - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изучение свойств ленты Мёбиуса

Изготовление ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D . Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт. Поставьте точку на одной стороне ленты и начертите линию вдоль неё.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт. Попробуйте закрасить ленту Мёбиуса, а затем обычное кольцо.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая – нет.

3 опыт. Изготовим из бумаги паука и муху, и отправим их «гулять» сначала по обычному листу, а затем по листу Мёбиуса при этом не пересекая края кольца и ленты.

4 опыт: разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

5 опыт: разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.). Точно также разрежем и лист Мёбиуса.

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.

На основе проведенных опытов можно сделать вывод:

Лента Мёбиуса имеет только один край.

Имеет только одну поверхность.

Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают.

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни

Лента Мёбиуса получила своё применение во многих областях нашей жизни.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных – муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Кроме того, Лист Мёбиуса встречается и в картинах других художников. (см. Приложение 3)

Встречается он и в архитектуре. (см. Приложение 4) Так, например проектирование национальной библиотеки в Астане по названием «Юрта Мёбиуса».

Их дизайн основан на сочетании четырех форм: кольца, ротонды, арки и юрты, при этом объединенных по принципу ленты Мёбиуса.

Так же есть парковая скамья, повторяющая очертания ленты Мебиуса, ротонда для любования пейзажем посреди поля и дом-гнездо на воде вошли в шорт-лист общероссийской премии в области деревянной архитектуры АРХИWOOD.

Поразил нас и Поп-арт, разработанный для вьетнамского города Хошимин. Со стороны, кажется, что этот многофункциональный комплекс похож на американские горки. Хотя основой для внешнего вида Everrich стали вовсе не американские горки, а лента Мебиуса.

Общая площадь этого многофункционального комплекса составит почти 632 тысячи квадратных метров, 37 этажей. На них расположатся 3 100 жилых квартир, офисные и гостиничные помещения, торговые залы и развлекательный центр.

Использование двойной Ленты Мебиуса можно увидеть в организации структуры выставочного автомобильного комплекса «Мерседес - Бенц».

Лентой Мёбиуса восхищались и поэты. Мы нашли несколько стихотворений, посвященные этому замечательному объекту.

Наталья Юрьевна Иванова

Лист Мёбиуса

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:……

……………………………………..
Лист Мёбиуса. (Дмитрий Худолей)

Двенадцать фраз, всего шесть строф,
С десяток рифм, полсотни слов.
Здесь нет начала, нет конца,
И нет изнанки, нет лица…………

Романтическое описание листа Мебиуса встречается в повести Э.Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы»
«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то странный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше он не видел ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составлял лист Мебиуса.
Эта вещь очень понравилась Рахманину… В знаке совершенно четко проступал какой-то смысл, были заложены определенные пропорции и связи.»

Удивительно и применение ленты Мёбиуса в науки и технике. В 1923г изобретатель. Ли де Форес предложил записывать звук на киноленту без смены катушек. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и соединяется в кольцо, при этом появляется возможность записывать и считывать информацию с двух сторон, что увеличивает емкость кассеты. Так же полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.В матричных принтерах красящая лента также имела вид лист Мёбиуса это для увеличения срока годности. (см. Приложение 5)

Вдохновляет лист Мёбиуса и дизайнеров. Примером является кресла Мёбиуса: этот диван повторяет секрет одноименной ленты, который в данном дизайнерском решении используется в качестве создания специальной атмосферы романтичности. (см. Приложение6)
Лист Мёбиуса используют в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. (см. Приложение 7)

Заключение

Таким образом, лента Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которая положила начало новому направлению в геометрии – топологии.

В ходе своего исследования я изучила большое количество литературы. В различных источниках сети Интернет мне встречались работы других учащихся, я проводила сравнение и анализировала прочитанное.

Так же, в своем исследовании я познакомилась с историей создания ленты Мебиуса. Мною было проведено ряд опытов с лентой Мёбиуса, результаты которой меня очень заинтересовали. В связи с этим мне захотелось посмотреть где же используют ленту Мёбиуса. Оказалось, что лента Мёбиуса применяется практически во всех областях нашей жизни.

Работа над темой мне очень понравилось. Для себя я получила много полезной и интересной информации о листе Мёбиуса.

Список литературы

Большая советская энциклопедия. Том 15. Москва.: третье издание, 1974 г.

Смирнова И. М. , Смирнов В. А. Учебник геометрии 7-9 классы. Москва.: Мнемозина, 2009 г.

Журнал «Квант», 1978, №6

Интернет сайты:

http://www.coolreferat.com

http://www.websib.ru

http://www.genon.ru/

http://nsportal.ru

http://zalivino.net/

http://barabinsk.ucoz.ru

http://mou-kislov.narod.ru/

regconf.vstu.edu.ru›

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3