Как найти координаты фокуса параболы. Парабола — свойства и график квадратичной функции

Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение директрисы параболы

Сравнивая это уравнение с уравнением
, находим, что 2p=4, откуда . Таким образом, точка
- фокусы параболы, а прямая
, т. е. x=-1 или x+1=0 – её директриса.

Ответ: (1;0)

Задача № 2. Фокусы параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.

Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0

Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.

Р
ешение: Так как директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0 или
, то ее фокус имеет координаты

, поэтому искомая кривая симметрична относительно оси Оx F()
и ветви ее направлены вправо (абсцисса фокуса положительна). Следовательно, уравнение параболы имеет вид

Так как
то
и уравнение параболы будет:
, а координаты ее фокуса F(2,5;0)

Ответ:
; F(2,5;0)

Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит через точку В(1;-2).

Так как парабола симметрична относительно оси Оy и имеет вершину в начале системы координат, то ее уравнение имеет вид
. Поскольку точка В(1;-2) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют параболы, т.е.
,

Откуда
, и, следовательно,
- уравнение параболы.

Ответ:

Задача № 5. Найти высоту арки моста длиной 24м, если арка имеет вид параболы, уравнение которой

Построим эскиз параболы
в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через h высоту моста, а через =24 - длину арки мосту. Тогда, А(12;-h)П:
.

Т
ак как точка А принадлежит параболе
, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Это дает возможность вместо текущих координат (x;y) подставить координаты данной точки в уравнение параболы. Тогда имеем

Итак, высота арки моста 3 м.

Задача № 6. Струя воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту 2 м и падает в 12 м от наконечника шланга. Найти параболическую траекторию струи.

Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее вершина лежала бы в начале координат.

Тогда уравнение такой параболической траектории имеет вид
, точка А(6;-2)П:
, следовательно, ее координаты удовлетво-ряют уравнению параболы. Подстановка координат точки А вместо текущих координатx и y параболы
, дает равенство

. Следовательно,
- уравнение параболической траектории струи.

Ответ:

Решить самостоятельно:

Задача № 7. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox)

Ответ:

Задача № 8. Из отверстия, находящегося на поверхности земли вытекает вода струей, представляющей ветвь параболы
. На каком расстоянии от края бака падает струя на землю, если высота отверстия

Ответ: 3 м.

Задача № 9. Осевое сечение параболического зеркала является параболой

Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.

Ответ: 30 см.

Задача № 10. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта, достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.

Ответ:
.

Задача № 11 Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее фокус лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-)

Ответ: а)
; б)
; в)
; г)

Задача № 12 Найти параболы с вершиной в начале координат, если даны директрисы: а)
; б)x=-5 ; в) y=3 ; г) y=-2 ;

Ответ: а)
; б)
; в)
; г)
.

Задача № 13. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.

а)
; б)
; в)
; г)
. Построить эти параболы.

Ответ: а) F(2;0); x+2=0 ; б) F(-3;0); x-3=0 ; в) F(0;); 2y+5=0

г) F(0;-4); x-4=0

Задача № 14. Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на параболе

Ответ: А лежат, В не лежат.

Задача № 15. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку

Ответ:

Задача № 16. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

А) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;

Б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;

В) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;

г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.

Ответ а)
; б)
; в)
; г)
.

Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-

чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.

Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .

Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением

Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение

которое называют каноническим уравнением параболы .

Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.

Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).

Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).

В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).

Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

Введем прямоугольную систему координат, где . Пусть осьпроходит через фокусF параболы и перпендикулярен директрисе, а ось проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим черезрасстояние между фокусом и директрисой. Тогдаа уравнение директрисы.

Число– называетсяфокальным параметромпараболы. Пусть – текущая точка параболы. Пусть– фокальный радиус точки гиперболы.–расстояние от точки до директрисы. Тогда(чертеж 27 .)

Чертеж 27.

По определению параболы . Следовательно,

Возведем уравнение в квадрат, получим:

(15)

где (15) каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси и проходящей через начало координат.

Исследование свойств параболы

1) Вершина параболы:

Уравнению (15) удовлетворяют числа и, следовательно, парабола проходит через начало координат.

2) Симметрия параболы:

Пусть принадлежит параболе, т.е.верное равенство. Точкасимметрична точкеотносительно оси, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Эксцентриситет параболы:

Определение 4.2. Эксцентриситетом параболы называется число , равное единице.

Так как по определению параболы .

4) Касательная параболы:

Касательная к параболе в точке касания определяется уравнением

Где (чертеж 28. )

Чертеж 28.

Изображение параболы

Чертеж 29.

С использованием ЭСО- Mathcad:

чертеж 30 .)

Чертеж 30 .

a) Построение без использования ИКТ: Для построения параболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ фокус ,так как, проводимтакую, что, и директрису параболы. Выполняем построение окружности в точкеи радиусом равным расстоянию от прямойдо директрисы параболы. Окружность пересекает прямуюв точкахи. Строим параболу так, чтобы она проходила через начало координат и через точкии.(чертеж 31 .)

Чертеж 31.

b)С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: .(чертеж 32 .)

Чертеж 32.

Чтобы обобщить работу по теории линий второго порядка в элементарной математике и для удобства использования информации о линиях при решении задач, заключим все данные о линиях второго порядка в таблицу № 1.

Таблица №1.

Линии второго порядка в элементарной математике

Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка

Процесс информатизации, охвативший сегодня все стороны жизни современного общества, имеет несколько приоритетных направлений, к которым, безусловно, следует отнести информатизацию образования. Она является первоосновой глобальной рационализации интеллектуальной деятельности человека за счет использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).

Середина 90-х годов прошлого века и до сегодняшнего дня, характеризуется массовостью и доступностью персональных компьютеров в России, широким использованием телекоммуникаций, что позволяет внедрять разрабатываемые информационные технологии обучения в образовательный процесс, совершенствуя и модернизируя его, улучшая качество знаний, повышая мотивацию к обучению, максимально используя принцип индивидуализации обучения. Информационные технологии обучения являются необходимым инструментом на данном этапе информатизации образования.

Информационные технологии не только облегчают доступ к информации и открывают возможности вариативности учебной деятельности, ее индивидуализации и дифференциации, но и позволяют по-новому организовать взаимодействие всех субъектов обучения, построить образовательную систему, в которой ученик был бы активным и равноправным участником образовательной деятельности.

Формирование новых информационных технологий в рамках предметных уроков стимулируют потребность в создании новых программно-методических комплексов направленных на качественное повышение эффективности урока. Поэтому, для успешного и целенаправленного использования в учебном процессе средств информационных технологий, преподаватели должны знать общее описание принципов функционирования и дидактические возможности программно- прикладных средств, а затем, исходя из своего опыта и рекомендаций, "встраивать" их в учебный процесс.

Изучение математики в настоящее время сопряжено с целым рядом особенностей и трудностей развития школьного образования в нашей стране.

Появился так называемый кризис математического образования. Причины его состоят в следующем:

В изменении приоритетов в обществе и в науке, то есть в настоящее время идет рост приоритета гуманитарных наук;

В сокращении количества уроков математики в школе;

В оторванности содержания математического образования от жизни;

В малом воздействии на чувства и эмоции учащихся.

Сегодня остается открытым вопрос: «Как же наиболее эффективно использовать потенциальные возможности современных информационных и коммуникационных технологий при обучении школьников, в том числе, при обучении математике?».

Компьютер – отличный помощник в изучении такой темы, как “Квадратичная функция”, потому что, используя специальные программы можно строить графики различных функций, исследовать функцию, легко определить координаты точек пересечения, вычислить площади замкнутых фигур и т.д. Например, на уроке алгебры в 9-м классе, посвящённом преобразованию графика (растяжения, сжатия, переносы координатных осей) можно увидеть лишь застывший результат построения, а на экране монитора прослеживается вся динамика последовательных действий учителя и ученика.

Компьютер, как ни одно техническое средство, точно, наглядно и увлекательно открывает перед учеником идеальные математические модели, т.е. то, к чему должен стремиться ребенок в своих практических действиях.

Сколько трудностей приходится испытывать учителю математики для того, чтобы убедить учеников в том, что касательная к графику квадратичной функции в точке касания практически сливается с графиком функции. На компьютере этот факт продемонстрировать очень просто- достаточно сузить интервал по оси Ох и обнаружить, что в очень маленькой окрестности точки касания график функции и касательная совпадают. Все эти действия происходят на глазах у учеников. Этот пример дает толчок к активным размышлениям на уроке. Использование компьютера возможно как в ходе объяснения нового материала на уроке, так и на этапе контроля. При помощи этих программ, например «My Test», ученик самостоятельно может проверить свой уровень знаний по теории, выполнить теоретико-практические задания. Программы удобны своей универсальностью. Они могут быть использованы и для самоконтроля, и для контроля со стороны учителя.

Разумная интеграция математики и компьютерных технологий позволит богаче и глубже взглянуть на процесс решения задачи, ход осмысления математических закономерностей. Кроме того, компьютер поможет сформировать графическую, математическую и мыслительную культуру учеников, а также с помощью компьютера можно подготовить дидактические материалы: карточки, листы опроса, тесты и др. При этом давать возможность ребятам самостоятельно разрабатывать тесты по теме, в ходе чего развивается интерес и творческий подход.

Таким образом, есть необходимость в применении по возможности компьютера на уроках математики более широко, чем есть. Использование информационных технологий будет способствовать повышению качества знаний, расширит горизонты изучения квадратичной функции, а значит, поможет найти новые перспективы для поддержания интереса учащихся к предмету и к теме, а значит и к лучшему, более внимательному отношению к нему. Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом – от управления до воспитания и обеспечения доступности образования.

III уровень

3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе

1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);

2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Параметры параболы:

Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

Величина где M (x , y ) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом , прямая D : x = –p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.

Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).

2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8x – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

В результате получим

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение

(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и построить ее:

1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;

3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

II уровень

2.1. Определить тип и параметры кривой.

Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в которой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определенный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы координат с этим масштабом.

§ 1. Парабола

Парабола известна читателю из школьного курса математики как кривая, являющаяся графиком функции

(рис. 76). (1)

График любого квадратного трехчлена

также является параболой; можно посредством одного лишь сдвига системы координат (на некоторый вектор ОО), т. е. преобразования

достигнуть того, чтобы график функции (во второй системе координат) совпадал с графиком (2) (в первой системе координат).

В самом деле, произведем подстановку (3) в равенство (2). Получим

Мы хотим подобрать так, чтобы коэффициент при и свободный член многочлена (относительно ) в правой части этого равенства были равны нулю. Для этого определяем из уравнения

что и дает

Теперь определяем из условия

в которое подставляем уже найденное значение . Получим

Итак, посредством сдвига (3), в котором

мы перешли к новой системе координат, в которой уравнение параболы (2) получило вид

(рис. 77).

Вернемся к уравнению (1). Оно может служить определением параболы. Напомним ее простейшие свойства. Кривая имеет ось симметрии: если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка симметричная точке М относительно оси ординат, также удовлетворяет уравнению (1) - кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 76).

Если , то парабола (1) лежит в верхней полуплоскости , имея с осью абсцисс единственную общую точку О.

При неограниченном возрастании модуля абсцисс ордината также неограниченно возрастает. Общий вид кривой дай на рис. 76, а.

Если (рис. 76, б), то кривая расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс к кривой .

Если перейти к новой системе координат, полученной из старой заменой положительного направления оси ординат на противоположное, то парабола, имеющая в старой системе уравнение , получит в новой системе координат уравнение у . Поэтому при изучении парабол можно ограничиться уравнениями (1), в которых .

Поменяем, наконец, названия осей, т. е. перейдем к иовой системе координат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс - старая ось ординат. В этой новой системе уравнение (1) запишется в виде

Или, если число - обозначить через , в виде

Уравнение (4) называется в аналитической геометрии каноническим уравнением параболы; прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (4), называется канонической системой координат (для этой параболы).

Сейчас мы установим геометрический смысл коэффициента . Для этого берем точку

называемую фокусом параболы (4), и прямую d, определенную уравнением

Эта прямая называется директрисой параболы (4) (см. рис. 78).

Пусть - произвольная точка параболы (4). Из уравнения (4) следует, что Поэтому расстояние точки М от директрисы d есть число

Расстояние точки М от фокуса F есть

Но , поэтому

Итак, все точки М параболы равноудалены от ее фокуса и директрисы:

Обратно, каждая точка М, удовлетворяющая условию (8), лежит на параболе (4).

В самом деле,

Следовательно,

и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,

Мы доказали, что каждая парабола (4) есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и от директрисы d этой параболы.

Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффициента в уравнении (4): число равно расстоянию между фокусом и директрисой параболы.

Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует парабола с фокусом F и директрисой d.

Для этого проведем через точку F прямую g (рис. 79), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозначим через D; расстояние (т. е. расстояние между точкой F и прямой d) обозначим через .

Прямую g превратим в ось, прнняв на ней направление DF в качестве положительного. Эту ось сделаем осью абсцисс прямоугольной системы координат, началом которой является середина О отрезка

Тогда и прямая d получает уравнение .

Теперь мы можем в выбранной системе координат написать каноническое уравнение параболы:

причем точка F будет фокусом, а прямая d - директрисой параболы (4).

Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы координат) определение параболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фокуса» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы» параболы).

Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы через , мы можем всегда найти прямоугольную систему координат, каноническую для данной параболы, т. е. такую, в которой уравнение параболы имеет канонический вид:

Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоторой прямоугольной системе координат, является параболой (в только что установленном геометрическом смысле).

Расстояние между фокусом и директрисой параболы называется фокальным параметром, или просто параметром параболы.

Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее фокальной осью (или просто осью); она является осью симметрии параболы - это вытекает из того, что ось параболы является осью абсцисс в системе координат, относительно которой уравнение параболы имеет вид (4).

Если точка удовлетворяет уравнению (4), то этому уравнению удовлетворяет и точка , симметричная точке М относительно оси абсцисс.

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы; она является началом системы координат, канонической для данной параболы.

Дадим еще одно геометрическое истолкование параметра параболы.

Проведем через фокус параболы прямую, перпендикулярную к оси параболы; она пересечет параболу в двух точках (см. рис. 79) и определит так называемую фокальную хорду параболы (т. е. хорду, проходящую через фокус параллельно директрисе параболы). Половина длины фокальной хорды и есть параметр параболы.

В самом деле, половина длины фокальной хорды есть абсолютная величина ординаты любой из точек , абсцисса каждой из которых равна абсциссе фокуса, т. е. . Поэтому для ординаты каждой из точек имеем

что и требовалось доказать.